Buenas tardes.
Tengo problemas para demostrar que la estabilidad de una ecuación lineal es independiente del instante fijado \( t_0 \).
Tengo lo siguiente:
Si \( \varphi:(\alpha, +\infty) \to \mathbb{R}^d \) solución de \( x'=A(t)x+b(t) \) con \( t_0\in (\alpha, +\infty) \ \ \forall \ \epsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 \) tal que si \( \chi:(\alpha, +\infty) \to \mathbb{R}^d \) es otra solución de \( x'=A(t)x+b(t) \) tal que \( \left\|{\chi(t_0)-\varphi(t_0)}\right\|< \delta \) entonces \( \left\|{\chi(t)-\varphi(t)}\right\|< \epsilon \quad \forall \ t \geq t_0 \Longleftrightarrow{} \phi \) matriz fundamental principal en \( t_0 \) entonces \( \left\|{\phi(t)}\right\| \) es acotada en \( [t_0,+\infty) \)
Sea \( t_1 \in (\alpha,+\infty) \) con \( t_1 \neq t_0 \) necesito por lo tanto probar que \( \exists \ \delta' > 0 \) tal que si \( \left\|{\chi(t_1)-\varphi(t_1)}\right\|< \delta' \) entonces \( \left\|{\chi(t)-\varphi(t)}\right\|< \epsilon \quad \forall \ t \geq t_1 \Longleftrightarrow{} \Psi \) matriz fundamental principal en \( t_1 \) entonces \( \left\|{\Psi(t)}\right\| \) es acotada en \( [t_1,+\infty) \)
Si me podeis ayudar os lo agradezco.
