[mg]

Hola,

El teorema es el siguiente.

Sea \( \mathcal{C} \) una familia de subconjutnos de \( \mathbb{R}^n \)  tal que \( B(\mathbb{R}^n)=\sigma(\mathcal{C}) \). Entonces \( \underline{X}:(\omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\longrightarrow{}(\mathbb{R},B(\mathbb{R}^n)) \) un vector aleatorio si y solo si

\( \forall{}C\in\mathcal{C}, \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F} \).

Demostración:

Primera parte: Supongamos  que \( \underline{X} \) es vector aleatorio. Entonces tenemos que \( \underline{X}^{-1}(B)\in\mathcal{F}, \forall{}B\in{}B(\mathbb{R}^n) \). Ahora bien, por la caracterización de las sigmas álgebras borel en \( \mathbb{R}^n \) entonces \( \underline{X}^{-1}((-\infty,x_1]\times{}(-\infty,x_2]\times{}...\times{}(-\infty,x_n])\in\mathcal{F}, \forall{}\underline{x}\in{}\mathbb{R}^n \), donde \( \underline{x}=(x_1,x_2,...,x_n)) \).

Hasta aquí debe estar bien, he seguido los pasos que ha marcado el profesor. Pero ahora concluye que eso implica que \( \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F}, \forall{}C\in{}\mathcal{C} \), lo cual no se de donde se sigue.

Segunda parte:
Aquí dice que \( \underline{X}^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))=\sigma(\underline{X}^{-1}(\mathcal{C})) \), y no se como hace eso. Indica que es por las propiedades de la función inversa, pero no encuentro nada parecido.

Un saludo.

[Masacroso]

Hasta aquí debe estar bien, he seguido los pasos que ha marcado el profesor. Pero ahora concluye que eso implica que \( \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F}, \forall{}C\in{}\mathcal{C} \), lo cual no se de donde se sigue.

Se sigue de que si \( \mathcal{C} \) genera la \( \sigma  \)-álgebra de Borel entonces necesariamente \( \mathcal{C}\subset B(\mathbb{R}^n) \).

Segunda parte:
Aquí dice que \( \underline{X}^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))=\sigma(\underline{X}^{-1}(\mathcal{C})) \), y no se como hace eso. Indica que es por las propiedades de la función inversa, pero no encuentro nada parecido.

La igualdad entre dos conjuntos se muestra primero mostrando que un conjunto está contenido en el otro, y luego al revés. Las propiedades de la función inversa a las que se refiere son las siguientes

\( \displaystyle{
f^{-1}\left(\bigcup_{x\in I}A_x\right)=\bigcup_{x\in I}f^{-1}(A_x),\quad f^{-1}\left(\bigcap_{x\in I}A_x\right)=\bigcap_{x\in I}f^{-1}(A_x),\quad f^{-1}(A^\complement )=(f^{-1}(A))^\complement
} \)

Puedes verificar esas propiedades tú mismo para convencerte. Con lo dicho quizá ya sepas resolver esa parte del ejercicio, inténtalo y nos cuentas.

[mg]

Hasta aquí debe estar bien, he seguido los pasos que ha marcado el profesor. Pero ahora concluye que eso implica que \( \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F}, \forall{}C\in{}\mathcal{C} \), lo cual no se de donde se sigue.

Se sigue de que si \( \mathcal{C} \) genera la \( \sigma  \)-álgebra de Borel entonces necesariamente \( \mathcal{C}\subset B(\mathbb{R}^n) \).

A ver, según tengo entendido lo que denota \( \sigma(\mathcal{C}) \), es la mínima \( \sigma \)-álgebra que contiene a \( \mathcal{C} \). Por tanto se ahí se deduce lo que tu has dicho. Entonces lo que justifica que \( \underline{X}^{-1}(C)\in\mathcal{F}, \forall{}C\in{}\mathcal{C} \), ¿es que cada conjunto de borel de \( \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) es una clase de \( \mathcal{C} \) ? Es decir, que cada boreliano en realidad es conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \), así como cada conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \) es un boreliano de \( \mathbb{R}^n \) ¿no?

Segunda parte:
Aquí dice que \( \underline{X}^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))=\sigma(\underline{X}^{-1}(\mathcal{C})) \), y no se como hace eso. Indica que es por las propiedades de la función inversa, pero no encuentro nada parecido.

La igualdad entre dos conjuntos se muestra primero mostrando que un conjunto está contenido en el otro, y luego al revés. Las propiedades de la función inversa a las que se refiere son las siguientes

\( \displaystyle{
f^{-1}\left(\bigcup_{x\in I}A_x\right)=\bigcup_{x\in I}f^{-1}(A_x),\quad f^{-1}\left(\bigcap_{x\in I}A_x\right)=\bigcap_{x\in I}f^{-1}(A_x),\quad f^{-1}(A^\complement )=(f^{-1}(A))^\complement
} \)

Puedes verificar esas propiedades tú mismo para convencerte. Con lo dicho quizá ya sepas resolver esa parte del ejercicio, inténtalo y nos cuentas.

Esta parte queda clara.

Un saludo.

[Masacroso]

Es decir, que cada boreliano en realidad es conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \), así como cada conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \) es un boreliano de \( \mathbb{R}^n \) ¿no?

Claro, de eso es lo que se parte, es decir, te dicen que \( \sigma (\mathcal{C})=B(\mathbb{R}^n) \) (entiendo que la notación \( B(\mathbb{R}^n) \) se refiere al \( \sigma  \)-álgebra de Borel de la topología estándar en \( \mathbb{R}^n \)).

[mg]

Es decir, que cada boreliano en realidad es conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \), así como cada conjunto de  \( \sigma(\mathcal{C}) \) es un boreliano de \( \mathbb{R}^n \) ¿no?

Claro, de eso es lo que se parte, es decir, te dicen que \( \sigma (\mathcal{C})=B(\mathbb{R}^n) \) (entiendo que la notación \( B(\mathbb{R}^n) \) se refiere al \( \sigma  \)-álgebra de Borel de la topología estándar en \( \mathbb{R}^n \)).

Si si, en efecto. Eso era lo que no veía que esos conjuntos fueran exactamente iguales. Entonces en realidad la primera parte es inmediata claro.  Ahora ya todo claro. Gracias Masacroso.

Un saludo.