Hola
1. Sea \( \overline{x}=x + n\mathbb{Z} \), con \( x \in \mathbb{Z} \). Pruebe que \( \overline{x} \in \mathbb{Z}_{n} \) es una unidad de \( \mathbb{Z}_{n} \) si y sólo si \( x \) y \( n \) son primos relativos.
Inspírate en la identidad de Bézout (http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_B%C3%A9zout)
2. Un anillo \( R \) es regular cuando, para cada \( a \in R \), existe \( x \in R \) tal que \( axa=a \). Pruebe que \( R \times \mathbb{Z} \) nunca puede ser regular.
Analiza qué ocurre si para cada par \( (a,b)\in R\times \mathbb{Z} \) existe \( (x,y)\in R\times \mathbb{Z} \) tal que
\( (a,b)(x,y)(a,b)=(axa,byb)=(a,b) \)
es decir, si \( axa=a \) y \( byb=b \). Intenta trabajar la segunda igualdad, pues \( \mathbb{Z} \) es conocido y puedes obtener información concreta para verificar que \( R\times \mathbb{Z} \) no es regular...
Spoiler
nota que \( byb=b \) si y sólo si \( b(by-1)=0 \). Ahora, utiliza el hecho que \( \mathbb{Z} \) es un dominio de integridad...
Saludos
Hola
Para el recíproco, como \( m.c.d(x,n) = 1 \), entonces por la identidad de Bézout \( ax + bn = 1 \). O sea, \( ax \equiv 1 \) (mod \( n \)). Esto es igual a \( \overline{ax} = \overline{a}\; \overline{x} = 1 \). De aquí se sigue que \( \overline{x} \) es una unidad de \( \mathbb{Z}_{n} \). (¿Esto está bien?)
Está muy bien.
Para el directo, no estoy muy seguro de qué hacer con el hecho de que, dado \( \overline{x} \), exista \( \overline{y} \in \mathbb{Z}_{n} \) tal que \( \overline{x}\;\overline{y} = \overline{y}\;\overline{x} = 1 \).
Siguiendo lo que indicas, esto quiere decir que \( xy+nt=1 \) para algún \( t\in \mathbb{Z} \). Ahora, supongamos que \( m.c.d(x,n)=d \), luego, existen \( u,v\in \mathbb{Z} \) tales que \( x=ud \) y \( n=vd \). Reemplazando estos valores en la igualdad anterior se tiene que
\( duy+vdt=1\Leftrightarrow{} d(uy+vt)=1 \)
Concluye cuál es, necesariamente, el valor de \( d \) y listo.
Saludos