[simpleimpar]

Una nueva ocurrencia que someto a vuestra consideración.

La ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)tiene en números reales y positivos las soluciones obvias no nulas \( a=b=\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \).
Como \( m \) es el mayor de la terna solución, si \( a>b \), será \( m>a>b \) y \( a>\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \), de modo que los posibles valores del entero \( a \) que resuelven la ecuación, dado \( m \) , son los del intervalo \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \).
El menor entero \( a \)  mayor que\( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \), es el mayor entero \( c \) contenido en \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \) que es el cociente de la división de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) que deja resto \( r \) inferior a \( {2^{1/3}} \) y verifica la ecuación \( m={2^{1/3}}c+r \), en la que es \( r\ne1 \).
Los enteros \( a \) serán de la forma \( c+j \), es decir, los coeficientes de las divisiones por exceso de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) que satisfacen las ecuaciones, con \( j \) entero positivo,
\( m={2^{1/3}}(c+j)+r_j  \)
donde los residuos son negativos, no enteros, superiores en valor absoluto a \( {2^{1/3}} \) y guardan entre sí la relación \( r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).
De esta relación se obtiene \( a=c+j=\displaystyle\frac{m-r_j}{2^{1/3}} \), de donde, \( 2{a^3}={(m-r_j)^3} \) y será divisible por 2 el número \( m-r_j \) que no es entero y por tanto la ecuación \( m^3= a^3+b^3 \) no tiene solución en enteros  positivos.

Saludos cordiales.

[manooooh]

Hola

(...) y guardan entre sí la relación \( \color{red}r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).

¿Qué has querido poner en lo de rojo?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

donde los residuos son negativos, no enteros, superiores en valor absoluto a \( {2^{1/3}} \) y guardan entre sí la relación \( r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).
De esta relación se obtiene \( a=c+j=\displaystyle\frac{m-r_j}{2^{1/3}} \), de donde, \( 2{a^3}={(m-r_j)^3} \) y será divisible por 2 el número \( m-r_j \) que no es entero y por tanto la ecuación \( m^3= a^3+b^3 \) no tiene solución en enteros  positivos.

Es que no se de donde te sacas que no es entero. El cubo de un NO entero si puede ser entero.

De hecho:

\( m-r_j=2^{1/3}(c+j) \)

luego su cubo es entero; le puedes dar valores a \( m \) y poner incluso ejemplos concretos.

AÑADIDO: Es decir \( (m-r_j)^3 \) si es entero y puede ser perfectamente divisible por dos; \( (m-r_j) \) es irracional no entero y al ser divido por dos dará otro irracional no entero y tampoco hay ningún problema en eso.

Saludos.

P.D. En realidad en el argumento sólo usas que:

\( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \)

con \( a,m \) enteros. No puedes pretender llegar a una contradicción de ahí, porque la existencia de esos enteros es perfectamente posible.

[simpleimpar]

para nanoooh
SE ME HA EXTRAVIADO EL PARÉNTESIS( , Y QUIERO DECIR \( (j-k){2^{1/3}} \)
SALUDOS

[simpleimpar]

Hola Luís
En efecto mi error consiste en tratar los irracionales como enteros y admitir que si el cubo de un irracional es divisible por 2 lo es el irracional base. Entono mi mea culpa y pido disculpas a la concurrencia por este nuevo e inexcusable error.
Trato de resolver este asunto de la siguiente manera, continuando desde la expresión \( a = c+j=\displaystyle\frac{(m-r_j)}{2^{1/3}} \).
\( b \) será un cociente de alguna de las divisiones por defecto de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) y de la forma, \( b=c-J=\displaystyle\frac{(m+R_J}{2^{1/3}}  \) con \( R_J \) irracional positivo.
Será \( a+b=\displaystyle\frac{2m-r_j+R_J}{2^{1/3}} \) donde es \( -r_j+R_J \) el producto de un entero \( p \) por \( 2^{1/3} \), y por tanto, \( a+b= 2^{2/3}m+p  \).
Por otro lado se tiene la congruencia módulo3 \( b=m-a+3d  \) que con la anterior ecuación para \( a+b \), da, \( 1-2^{2/3}=\displaystyle\frac{(p-3d}{m} \) lo que no es posible porque el primer miembro de esta igualdad es irracional y el segundo racional.
Ya me dirás donde estan los nuevos errores.
Salud

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luís
En efecto mi error consiste en tratar los irracionales como enteros y admitir que si el cubo de un irracional es divisible por 2 lo es el irracional base. Entono mi mea culpa y pido disculpas a la concurrencia por este nuevo e inexcusable error.
Trato de resolver este asunto de la siguiente manera, continuando desde la expresión \( a = c+j=\displaystyle\frac{(m-r_j)}{2^{1/3}} \).
\( b \) será un cociente de alguna de las divisiones por defecto de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) y de la forma, \( b=c-J=\displaystyle\frac{(m+R_J}{2^{1/3}}  \) con \( R_J \) irracional positivo.
Será \( a+b=\displaystyle\frac{2m-r_j+R_J}{2^{1/3}} \) donde es \( -r_j+R_J \) el producto de un entero \( p \) por \( 2^{1/3} \), y por tanto, \( a+b= 2^{2/3}m+p  \).

No se porque afirmas que  \( -r_j+R_J \) el producto de un entero \( p \) por \( 2^{1/3} \). No es así., ni se deduce de nada de lo anterior.

Si fuese así esto:

\( a+b= 2^{2/3}m+p  \)

ya sería imposible, porque tres de los términos son enteros y el restante irracional.

Saludos.

P.D. Una vez más ahí sólo usas que \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \) y \( b<\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \) y no hay ningún problema en conseguir enteros en esas condiciones; entonces no se puede pretender llegar a una contradicción de ahí.

Este tipo de reflexiones evitaría perder el tiempo en razonamientos que desde el principio se ve que no pueden llegar a buen puerto.

[simpleimpar]

Hola
Cito "no se porqué afirmas que \( -r_j+R_J \) es un entero \( p \) por \( 2^{]1/3} \)"

Lo afirmo porque la suma de los resíduos por esxceso y por defecto de una división con el mismo dividendo y divisor  es un múltiplo del divisor.

\(  \)Respecto de \( b \) ni que decir tirne que cumple la desigualdad \( \displaystyle\frac{c}{2^{1/3}}<b<\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \).

De nuevo saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Cito "no se porqué afirmas que \( -r_j+R_J \) es un entero \( p \) por \( 2^{]1/3} \)"

Lo afirmo porque la suma de los resíduos por esxceso y por defecto de una división con el mismo dividendo y divisor  es un múltiplo del divisor.

Eso sería \( r_j+R_j \), que es distinto.

\(  \)Respecto de \( b \) ni que decir tirne que cumple la desigualdad \( \displaystyle\frac{c}{2^{1/3}}<b<\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \).

Si. Y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo esas desigualdades.

Saludos.

[simpleimpar]

Hola de nuevo

Como \( r_j \) es negativo es \( \left |r_j \right |+ \left |R_J \right| \) que es lo que tu dices.

Cito

"Si, y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo las desigualdades"

Añado

¿que verifiquen la ecuación \( m^3 = a^3 * b^3 \)  siendo \( a+b= 2^{2/3}+p \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Como \( r_j \) es negativo es \( \left |r_j \right |+ \left |R_J \right| \) que es lo que tu dices.

No estoy seguro si me estás diciendo que estás de acuerdo con mi crítica o no. Tienes:

\( m=2^{1/3}a+r_j \)
\( m=2^{1/3}b-R_j \)

Si restas:

\( 0=2^{1/3}(a-b)+r_j+R_j\quad \Rightarrow{}\quad R_j+r_j=2^{1/3}(b-a) \)

Entonces lo que es un entero por \( 2^{1/3} \) es \( r_j+R_j \) y NO, \( -r_j+R_j \).

"Si, y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo las desigualdades"

Añado

¿que verifiquen la ecuación \( m^3 = a^3 * b^3 \)  siendo \( a+b= 2^{2/3}+p \)?

Supongo que querías poner \( m^3=a^3+b^3 \). Eso no lo usas de manera efectiva en todo lo que haces.

Por otra parte vuelves a escribir \( a+b= 2^{2/3}+p \), pero esa igualdad está mal deducida. Lo que tienes es:

\( a+b=2^{2/3}m+\color{blue}\dfrac{R_j-r_j}{2^{1/3}}\color{black} \)

y como te he dicho el término en azul NO es entero.

Saludos.