Probar que la serie geométrica, definida como la sucesión \[ \{1+x+x^2+\cdots+x^n\} = \sum_{n\ge 0}x^n \] converge a \( \dfrac{1}{1-x} \) para \( |x|<1 \). Dar un argumento para deducir la expresión a la que converge la serie, \( \dfrac{1}{1-x} \).
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Para que la serie pueda ser convergente, es necesario que la sucesión \( \{x^n\} \) converga a \( 0 \). Si \[ |x|>1 \] entonces \( \{x^n\} \) no está acotada y no puede ser convergente. Si \( x=-1 \) entonces la sucesión \( \{x^n\} \) tiene dos sucesiones parciales que tienden a distinto límite. Si \[ x=1 \] entonces \[ \{x^n\} \] no tiende a \[ 0 \] sino a \[ 1 \]. Para \[ |x|<1 \] la sucesión converge a cero. En efecto: para \[ |x|<1 \] podemos escribir \( |x| \) como \( |x|=\dfrac{1}{1+\rho} \) para un \( \rho>0 \) adecuado y así \( |x|^n=\dfrac{1}{(1+\rho)^n} \). Veamos si \( \{x^n\} \) converge a cero. Usando la desigualdad de las medias con \( x_1,x_2, \cdots, x_{n-1}=1 \) y \( x_n = 1+n\rho \) tenemos que
\( \sqrt{\underbrace{1\cdot 1 \cdot 1 \cdots 1}_{n-1 \text{ veces}}\cdot(1+n\rho)} < \dfrac{(n-1)+(1+n\rho)}{n} = 1+\rho \) luego \( (1+\rho)^n > 1+n\rho \).
Así, dado un \( \epsilon > 0 \) tenemos que \( \displaystyle \left|x^{n}-0\right|=|x|^{n}=\frac{1}{(1+\rho)^{n}} \leqslant \frac{1}{1+n \rho}<\frac{1}{n \rho} \) y por tanto, si \( m=\dfrac{1}{\rho\epsilon} \) o, mejor aún, si \( m = E\left(\frac{1}{\rho \epsilon}\right)+1 \) donde \( E(x) \) es la función parte entera de \( x \), entonces para todo \( n\ge m \) se tiene que \( \left|x^{n}-0\right| < \epsilon \) y así \( \{x^n\}\to 0 \) si \( |x|<1 \).
Para ver que \( \{1+x+x^2+\cdots+x^n\} \to \dfrac{1}{1-x} \) observamos que \( \left|1+x+x^2 +\cdots+x^n - \dfrac{1}{1-x}\right | = \dfrac{|x|^{n+1}}{1-x} \). Pero, teniendo en cuenta que \( 0<1-|x|\le 1-x \) y escribiendo \( |x|=\dfrac{1}{1+\rho} \) tenemos que
\[ \left|1+x+x^2 +\cdots+x^n - \dfrac{1}{1-x}\right | = \dfrac{|x|^{n+1}}{1-x} \le \frac{|x|}{1-|x|}|x|^n = \frac{1}{p}|x|^n < \frac{1}{np^2} \le \frac{1}{mp^2} < \epsilon \]
siempre que \( n\ge m \) y que \( m=\dfrac{1}{\rho^2\epsilon} \) o, mejor aún, si \( m = E\left(\frac{1}{\rho^2 \epsilon}\right)+1 \).
Una manera de obtener la expresión a la que converge es notar que, en general, dado \[ x\in \Bbb R \], para \[ n\in \Bbb N \] tenemos que
\[ (x-1)\sum_{k=0}^n x^k = \sum_{k=0}^n x^{k+1} - \sum_{k=0}^n x^k = \sum_{k=1}^{n+1} x^k - \sum_{k=0}^n x^k = x^{n+1} -1 \] y así \[ S_n = \sum_{k=0}^n x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\quad \forall \, x \in \Bbb{R}\setminus \{1\}, \space \forall \, n \in \Bbb N \].
Ahora bien, \[ \lim\{S_n\} = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} x^k = \lim_{n\to\infty} \frac{x^{n+1}-1}{x-1} \] y este límite existe si \[ |x|<1 \], condición que ya habíamos obtenido para que la serie \( \{S_n\} \) fuese convergente. Así, si \( |x|<1 \) entonces \[ \lim\{S_n\} =\frac{1}{1-x} \]
