[Samir M.]

Este es un problema de la OME del un año entre 2008-2010. Demostrar que si \( p>3 \) es primo entonces \( p^2=\dot{24}+1 \).

________

Notamos que   \( \begin{aligned} &1^{2} \equiv 1 \bmod 3 \\ &2^{2} \equiv 1 \bmod 3 \\ &3^{2} \equiv 0 \bmod 3 \\ \end{aligned} \)    y además    \( \begin{array}{lll} 1^{2} \equiv 1  \bmod  8 & 4^{2} \equiv 0  \bmod  8 & 7^{2} \equiv 1  \bmod  8\\ 2^{2} \equiv 4  \bmod  8 & 5^{2} \equiv 1  \bmod  8  & \text{etc...}\\ 3^{2} \equiv 1  \bmod  8 & 6^{2} \equiv 4  \bmod  8  \end{array} \)    (observad el ciclo) luego si \( p \) es primo distinto de \( 2 \) y \( 3 \), \( p^2 \equiv 1 \bmod 24 \)


Otro camino más elemental y el que más me gusta a mí: tenemos que \( p^2=24k+1 \to p^2-1=24k \to (p-1)(p+1)=2^2\cdot2 \cdot 3k \). Si \( p \) es primo tal que \( p>3 \) entonces tanto \( (p-1) \) como \( (p+1) \) son pares y múltiplos de dos, y, además, uno de los dos ya sea \( (p-1) \) o \( (p+1) \) es múltiplo de \( 4 \).  Puesto que en tres números consecutivos (\( (p-1),p,(p+1) \)) siempre uno es múltiplo de \( 3 \), concluimos.

[Juan Pablo Sancho]

El problema es casi el mismo(el mismo).

Sea \( a \) un entero tal que \( 2 \) y \( 3 \) no lo dividen entonces \( 24|a^2-1 \).
Podemos tomar \( a = 6 \cdot m + r \) con \( r \in \{1,5\} \) para que no pueda ser dividido por \( 2 \) ni \( 3 \).
Tenemos:
Si \( r=1 \)
\( a^2 - 1 = (a-1) \cdot (a+1) = 6m \cdot (6m+2) = 12m \cdot (3m+1)  \).
Si \( m \) es par lo tenemos.
Si \( m \) es impar entonces \( 3m+1 \) es par y lo tenemos.

Si \( r=5 \)
\( a^2 - 1 = (a-1) \cdot (a+1) = (6m + 4) \cdot (6m+6) = 12 \cdot (3m +2 )\cdot (m+1)  \).
Si \( m \) es par \( 3m+2 \) es par.
Si \( m \) es impar entonces \( m+1 \) es par y lo tenemos.

[Samir M.]

El problema es casi el mismo(el mismo).

Sea \( a \) un entero tal que \( 2 \) y \( 3 \) no lo dividen entonces \( 24|a^2-1 \).
Podemos tomar \( a = 6 \cdot m + r \) con \( r \in \{1,5\} \) para que no pueda ser dividido por \( 2 \) ni \( 3 \).
Tenemos:
Si \( r=1 \)
\( a^2 - 1 = (a-1) \cdot (a+1) = 6m \cdot (6m+2) = 12m \cdot (3m+1)  \).
Si \( m \) es par lo tenemos.
Si \( m \) es impar entonces \( 3m+1 \) es par y lo tenemos.

Si \( r=5 \)
\( a^2 - 1 = (a-1) \cdot (a+1) = (6m + 4) \cdot (6m+6) = 12 \cdot (3m +2 )\cdot (m+1)  \).
Si \( m \) es par \( 3m+2 \) es par.
Si \( m \) es impar entonces \( m+1 \) es par y lo tenemos.

Muy bonito, gracias por compartirlo. Me gustan bastante este tipo de razonamientos que parecen elementales pero a los ojos de los más peques son como magia (como me lo pareció a mí en su momento )

[geómetracat]

Este es un problema de la OME del un año entre 2008-2010. Demostrar que si \( p>3 \) es primo entonces \( p^2=\dot{24}+1 \).

A este problema le tengo mucho cariño porque fue uno de los primeros problemas de demostración que alguien me propuso y fui capaz de resolver, cuando iba a la ESO o por ahí.

Otro camino más elemental y el que más me gusta a mí: tenemos que \( p^2=24k+1 \to p^2-1=24k \to (p-1)(p+1)=2^2\cdot2 \cdot 3k \). Si \( p \) es primo tal que \( p>3 \) entonces \( (p-1) \) es par y múltiplo de \( 2 \) y \( (p+1) \) es múltiplo de \( 4 \). Puesto que en tres números consecutivos (\( (p-1),p,(p+1) \)) siempre uno es múltiplo de \( 3 \), concluimos.

Una pequeña corrección: no es necesariamente cierto que \( p+1 \) sea múltiplo de \[ 4 \] (por ejemplo, si \[ p=5 \]). Lo que sí es cierto es que tanto \[ p-1 \] como \[ p+1 \] son pares, y además uno de ellos debe ser múltiplo de \[ 4 \].

[Samir M.]

Ah sí, está mal escrito, gracias lo corrijo.

[feriva]

Los números que no son mútliplos de 2 y 3 (de 6) son de la forma \( 6n+r
  \) con \( r\neq2,3,4\Rightarrow
  \); \( r=1,5
  \). Donde también \( 5\equiv-1(mod6)
  \).

Entonces son los números del conjunto FV (Feriva-Victor Luis) de la forma \( 6n\pm1
  \) muy famosos en este foro desde antiguo

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=83147.msg332880#msg332880

...

Claro, desarrollando, \( (6n\pm1)^{2}=36n^{2}+1^{2}\pm12n=12n(3n\pm1)+1
  \). Donde si “n” es par, es \( \overset{\bullet}{24}+1
  \), y si “n” es impar, entonces \( (3n\pm1)
  \) es par y también es \( \overset{\bullet}{24}+1
  \).