A El Manco lo considero mucho! 
le tengo un gran aprecio por su altruismo y dedicación a este foro y de ningún modo pretendí "no considerar" (que espero que no haya parecido eso) su post, de hecho me ha servido de mucho; me ha ayudado en muchas ocasiones. Y lo hago nuevamente si hace falta 
No creo que nadie haya interpretado mal tus palabras, pero no podía meter baza yo aquí sin dejar eso claro por delante.
En cuanto a ti, Carlos, simplemente me hace ilusión poder disponer de tus conocimientos en el este foro y aunque llevo tiempo aquí, varios años, no te había leído hasta ayer.
Gracias de nuevo por tu amabilidad.
Es prácticamente lo primero que se nos da cuando se nos introduce en el álgebra y cálculo tensorial. Es "la definición".
Se nos enuncia y después se pasa a definir el producto tensorial y de ahí, se nos imparte el punto de vista de los tensores como operador. Es decir: en tensor actúa sobre vectores. Los usos son de todo tipo, especialmente en mecánica del medio continuo (a la hora de definir la tensión) y demás. Pero el modo operacional lo entiendo, digamos que sé "operar" con ellos.
Pero yo lo que quiero es entender este tipo de identificaciones (dual, bidual...) para poder seguir yo solo estudiando lo que ya no me explican. En resumen y concretando, el contexto es la base matemática para después estudiar sólido elástico, mecánica de medios continuos, mecánica de fluidos...
Ya veo por dónde vas. Es un tema delicado y lleno de sutilezas. De hecho, debo empezar confesando que yo nunca me he metido a fondo con ellas y, aunque tengo una idea superficial de su naturaleza, nunca me he parado a estudiar la relación entre el uso informal de los tensores que tradicionalmente vienen haciendo los físicos y su formalización en los términos que describes. Quizá otros te puedan dar respuestas más concretas. Yo sólo sabría explicarte las ideas de fondo a grandes rasgos:
Como te decía, los físicos han venido usando desde hace mucho los conceptos de escalar, vector y tensor de un modo bastante informal, para después pasar a una semiformalización en la que estos objetos se "medio-definían" en función del modo en que se transformaban al cambiar de sistema de referencia. Lo primero que hay que advertir es que los conceptos de "escalar", "vector" y "tensor" en el sentido en que lo usan los físicos no se corresponde exactamente con el usual en matemáticas, y creo que pensar lo contrario es la primera dificultad a la hora de entender a un físico.
Por ejemplo, para un matemático un "escalar" es simplemente un elemento del cuerpo de los espacios vectoriales sobre los que está trabajando o, en un contexto más particular, un escalar es un número real.
Sin embargo, para un físico un "escalar" propiamente dicho es un escalar invariante ante cambios de sistema de referencia. Por ejemplo (y siempre me refiero a la mecánica clásica) la masa de un objeto es un escalar, porque la mida quien la mida, en una posición o en otra, en reposo o en movimiento, el valor de la masa siempre será el mismo.
Por el contrario, "la primera coordenada de la velocidad de un móvil respecto de un sistema de referencia", que un matemático llamaría "escalar" con toda la tranquilidad del mundo (y, más en general, diría que las coordenadas de cualquier vector son tres escalares), para un físico no es un escalar, porque, por ejemplo, respecto de un sistema de referencia puede ser cero y respecto de otro no.
Por el contrario, un físico dirá que las tres coordenadas de la velocidad de un móvil respecto de un sistema de referencia son tres números (no escalares) que conjuntamente forman un vector. Y para un físico un vector no es un "elemento de un espacio vectorial", como para un matemático, y ni siquiera un elemento de \( \mathbb{R}^3 \) (es decir, tres números ordenados), sino que un vector es una magnitud física expresada mediante tres números de modo que si comparamos su expresión en dos sistemas de referencia distintos vemos que están relacionados mediante una determinada fórmula (que, cuando ambos sistemas de referencia están en reposo mutuo se reduce a la fórmula usual de cambio de sistema de referencia afín).
Así, por ejemplo, la velocidad es un vector, porque el vector de velocidad de un móvil puede ser \( (2, 0, 0) \) respecto de un sistema de referencia y \( (\sqrt 2,\sqrt 2, 0) \) respecto de otro, pero una expresión puede deducirse de la otra si se conoce la situación de un sistema de referencia respecto del otro.
Este concepto de vector de los físicos es más sutil que el de los matemáticos, pues, por ejemplo, les permite distinguir entre "vectores" y "pseudovectores", según que la expresión de un vector en un sistema de referencia dependa o no de su orientación. Por ejemplo, la velocidad es un vector, mientras que la velocidad angular es un pseudovector, porque si, por ejemplo, expresas la velocidad angular de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol respecto a un cierto sistema de referencia, será seguo un vector perpendicular al plano de su órbita, pero si, por ejemplo, resulta apuntar hacia una determinada estrella, por el mero hecho de cambiar de sistema de referencia a otro orientado al revés, no sólo obtendrás otro vector con otras coordenadas, sino que si lo representas en el espacio será un vector que apuntará hacia la estrella situada en el punto opuesto de la esfera celeste, es decir, que el cambio de sistema de referencia no sólo te modifica las coordenadas pero de modo que las nuevas representan "la misma flecha" desde otro punto de vista, sino que te cambia la flecha por su opuesta.
Igualmente, los tensores son grupos de coordenadas que pueden clasificarse según la forma en que se transforman, y eso permite distinguir entre vectores "covariantes" en ciertas coordenadas y "contravariantes" en otras.
La definición general de tensor que te han dado pretende formalizar estas semi-definiciones, es decir, construir unos objetos matemáticos concretos que se comporten según las reglas que los físicos atribuyen a los escalares, a los vectores y a los tensores. Y si te parece artificial es porque lo que pretenden describir es muy sutil y no es fácil hacerlo sin caer en incoherencias.
Por desgracia, como te digo, nunca he estudiado esto a fondo, y no sabría ponerte ejemplos concretos o analizarlos para mostrarte que las cosas son como te digo, pero, hasta donde yo he tocado el tema, creo que el asunto va por ahí.
También te digo que es posible estudiar hasta cierto nivel la mecánica de fluidos, etc. partiendo de aproximaciones "burdas" como que "los escalares son números, los vectores son ternas de números, los tensores de orden dos son matrices \( 3\times 3 \) y poco más, de modo que sólo una mente muy perspicaz se da cuenta realmente de que ahí hay algunas sutilezas de fondo que deberían precisarse. Por supuesto que haces bien tratando de llegar hasta el fondo, pero creo que yo no podría ayudarte mucho en ello.
Como digo, tal vez algún otro usuario pueda darte respuestas más concretas, porque supongo que la mía al fin y al cabo no te ayudará en mucho.
