Hola
Sea R un anillo, y sea \( A\in M_n(R) \) una matriz triangular inferior. Supongamos que \( A\in GL(n,R) \). Se pide probar que:
-> Todos los elementos de la diagonal principal de A son unidades en R.
-> Sea A la matriz = \( \begin{pmatrix} B & 0 \\ C & D \end{pmatrix} \) probar que \( A^{-1}=\begin{pmatrix} B^{-1} & 0 \\ -D^{-1}CB^{-1} & D^{-1} \end{pmatrix} \)
Entiendo que se trata de un anillo conmutativo.
No se muy bien que resultados previos tienes ya probados, pero los pasos serían los siguientes:
1) Una matriz cuyo determinante es una unidad es inversible.
2) El determinante de una matriz triangular es el producto de los términos de la diagonal; si estos son unidades, el producto de unidades es una unidad.
También puede probarse directamente que una matriz triangular con unidades en la diagonal es inversible por Gauss, por ejemplo.
Todo eso está destinado a justificar que existe la inversa de \( B \) y \( D \).
3) Comprobar (usando multiplicación por bloques) que:
\( \begin{pmatrix} B & 0 \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B^{-1} & 0 \\ -D^{-1}CB^{-1} & D^{-1} \end{pmatrix}=Id \)
Con multiplicación por bloques me refiero a que:
\( \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A' & B' \\ C' & D' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} AA'+BC' & AB'+BD' \\ CA'+DC' & CB'+DD' \end{pmatrix} \)
siendo \( A\in R^{k\times k},\quad D\in R^{m\times m}\quad B\in R^{k\times m},\quad C\in R^{m\times k} \).
Inténtalo y pregunta las dudas.
Saludos.
