[Juan Pablo Cardona Buitra]

Un saludo.

¿Qué sugerencias me podrían dar para demostrar el teorema que dice que dado un dominio de integridad \( D \), \( p(x)\in D[x] \) un polinomio no nulo y \( a\in D \) una raíz de multiplicidad \( k\geq1 \), entonces existe \( q(x)\in D[x] \) no nulo tal que \( p(x)=(x-a)^kq(x) \)? Sin tener que invocar el algoritmo de la división generalizado. Es que estoy intentando demostrar que un polinomio de grado \( n \) con coeficientes en un dominio de integridad  tiene a lo sumo \( n \) raíces, y para eso necesito demostrar lo que pregunto. He intentado, pero sólo consigo demostrar el caso cuando la multiplicidad de la raíz \( a \) es \( k=1 \), notando que \( x^j-a^j=(x-a)(x^{j-1}+ax^{j-2}+a^2x^{j-3}+\cdots+a^{k-1}) \).

Agradezco sus respuestas.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Qué sugerencias me podrían dar para demostrar el teorema que dice que dado un dominio de integridad \( D \), \( p(x)\in D[x] \) un polinomio no nulo y \( a\in D \) una raíz de multiplicidad \( k\geq1 \), entonces existe \( q(x)\in D[x] \) no nulo tal que \( p(x)=(x-a)^kq(x) \)?

¿Qué definición de raíz de multiplicidad \( k \) manejas?.

En cualquier caso te puede ser útil considerar el automorfismo \( f_a(p(x))=p(x+a) \), que te permite centrar cualquier asunto relacionado con una raíz en la raíz cero.

Saludos.

[Juan Pablo Cardona Buitra]

Por raíz de multiplicidad \( k \) para un polinomio \( p(x) \), se entiende el número de veces que aparece el factor \( x-a \) en el polinomio.

[Luis Fuentes]

Hola

Por raíz de multiplicidad \( k \) para un polinomio \( p(x) \), se entiende el número de veces que aparece el factor \( x-a \) en el polinomio.

Pero entonces no entiendo del todo que quieres probar. Por definición tendrías que si \( a \) es una raíz de multiplicidad \( k \) entonces:

\( p(x)=(x-a)^kq(x) \) donde \( (x-a) \) no divide a \( q(x) \).

Saludos.