Hola esto esta bien:
Resuelva los siguientes ejercicios, justificando cada paso en las demostraciones:
1. Muestre que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos a y b con la operación binaria de concatenación es un monoide.
Exercise 1.62: Let $$\mathbb{T}_S^n$$ denote the set of terms in $$n$$ variables whose coefficients are elements of the set $$S$$. For example, $$2 x y \in \mathbb{T}_{\mathrm{Z}}^2$$ and $$\pi x^3 \in \mathbb{T}_{\mathbb{R}}^1$$.
(a) Show that if $$S$$ is a monoid, then so is $$T_S^n$$.
(b) Show that if $$S$$ is a monoid, then $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$.
Exercise: Let $$S, T, U$$, and $$V$$ be sets and let $$X \subseteq S \times T, Y \subseteq T \times U$$, and $$Z \subseteq U \times V$$ be subsets. Define
$$
X * Y:=\{(s, u) \in S \times U \mid \exists t \in T:(s, t) \in X \text { and }(t, u) \in Y\} \subseteq S \times U .
$$
Show that
$$
(X * Y) * Z=X *(Y * Z) .
$$
(b) Let $$S$$ be a set. Show that $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ is a monoid. Is it commutative?
(c) What are the invertible elements in the monoid of Part (b)?
1-Para demostrar que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos "a" y "b" con la operación binaria de concatenación es un monoide, debemos mostrar que cumple con las propiedades de un monoide:
1. **Asociatividad:** La operación de concatenación de cadenas es asociativa, es decir, para toda $$x, y, z$$ cadenas, $$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$$.
2. **Elemento neutro:** La cadena vacía $$\varepsilon$$, que no contiene ningún símbolo, actúa como el elemento neutro en esta operación, es decir, para toda cadena $$x$$, se cumple que $$x \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot x = x$$.
Veamos la demostración de cada propiedad:
1. **Asociatividad:**
- Sean $$x, y, z$$ cadenas formadas por los símbolos "a" y "b".
- Entonces, $$(x \cdot y) \cdot z$$ representa la concatenación de $$(x \cdot y)$$ con $$z$$.
- Observamos que la asociatividad de la concatenación de cadenas nos asegura que $$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$$.
- Por lo tanto, la operación de concatenación es asociativa en este conjunto.
2. **Elemento neutro:**
- La cadena vacía $$\varepsilon$$ es el elemento neutro en la operación de concatenación.
- Para cualquier cadena $$x$$ formada por los símbolos "a" y "b", se cumple que $$x \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot x = x$$.
- Por lo tanto, la cadena vacía $$\varepsilon$$ actúa como el elemento neutro en este conjunto.
Dado que hemos demostrado que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos "a" y "b" con la operación binaria de concatenación cumple con las propiedades de un monoide, podemos concluir que este conjunto forma un monoide.
1.62:
(a) Para demostrar que si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n$$ también lo es, necesitamos verificar dos propiedades: la propiedad cerrada bajo la operación y la existencia de un elemento neutro.
1. **Propiedad cerrada bajo la operación:** Dado que los elementos de $$\mathbb{T}_S^n$$ son términos en $$n$$ variables cuyos coeficientes son elementos de $$S$$, la operación de multiplicación entre términos también dará como resultado un término en $$n$$ variables con coeficientes en $$S$$.
2. **Existencia de un elemento neutro:** El elemento neutro en $$\mathbb{T}_S^n$$ es el término que tiene coeficientes neutros del monoide $$S$$. Por ejemplo, si $$S$$ tiene un elemento neutro $e$, entonces el término neutro en $$\mathbb{T}_S^n$$ sería $$ex_1x_2\ldots x_n$$.
Por lo tanto, si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n$$ también lo es.
(b) Para demostrar que si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$, necesitamos encontrar una biyección entre los conjuntos.
Definimos la función $$\phi: \mathbb{T}_S^n \rightarrow S \times \mathbb{M}_n$$ como sigue:
- Para un término $$t$$ en $$\mathbb{T}_S^n$$, asignamos a $$\phi(t)$$ el par $$(c, m)$$, donde $$c$$ es el coeficiente de $$t$$ y $$m$$ es la matriz de coeficientes restantes de $$t$$.
Es claro que $$\phi$$ es biyectiva, ya que podemos recuperar el término original a partir de $$(c, m)$$, multiplicando $$c$$ por la matriz de coeficientes $$m$$.
Por lo tanto, si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$.
Ahora, pasemos al ejercicio 1.63.
Para demostrar la igualdad $$(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$$, primero consideremos un elemento $$(s, u)$$ en $$(X * Y) * Z$$. Esto significa que existe un elemento $$t$$ tal que $$(s, t) \in X$$ y $$(t, u) \in Y * Z$$. Pero si $$(t, u) \in Y * Z$$, entonces existe un elemento $$v$$ tal que $$(t, v) \in Y$$ y $$(v, u) \in Z$$. Por lo tanto, $$(s, t) \in X$$ y $$(t, v) \in Y$$, lo que implica que $$(s, u) \in X * (Y * Z)$$.
De manera similar, podemos demostrar la otra inclusión. Entonces, $$(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$$.
(b) Ahora, para demostrar que $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide, primero notamos que $$\mathcal{P}(S \times S)$$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $$S \times S$$. La operación $$*$$ definida anteriormente toma dos subconjuntos y produce un nuevo subconjunto.
Para verificar que $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide, debemos demostrar las dos propiedades:
1. **Propiedad cerrada bajo la operación $$*$$:** La operación $$*$$ toma dos subconjuntos de $$S \times S$$ y produce otro subconjunto de $$S \times S$$, por lo que la propiedad cerrada se cumple.
2. **Existencia de un elemento neutro:** El elemento neutro sería el conjunto vacío $$\emptyset$$, ya que para cualquier conjunto $$X$$, $$X * \emptyset = \emptyset * X = \emptyset$$.
Por lo tanto, $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide.
(c) Los elementos invertibles en el monoide $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ son aquellos conjuntos que tienen elementos que pueden ser invertidos por otros elementos. En este caso, el conjunto $$\{ (a, a) \mid a \in S \}$$ es invertible ya que cada elemento $$(a, a)$$ tiene un inverso $$(a, a)$$ que al multiplicarlo produce el conjunto $$\{(a, a)\}$$. Sin embargo, este monoide no es conmutativo, ya que la operación $$*$$ depende del orden de los elementos.
