Hola, tengo el siguiente ejercicio:
Demuestra que los subgrupos de \( D_{2n} \) son exactamente los subgrupos \( <r^d> \) con \( d|n \), \( <r^d,r^is> \) con \( d|n \) \( 0\leq{i}\leq{d-1} \) y que todos ellos son distintos ¿Qué índice tiene cada uno de ellos?
También nos piden lo siguiente: Prueba que los subgrupos de la forma \( <r^d> \) con \( d|n \) son normales en \( D_{2n} \) y que estos son todos los subgrupos normales propios de \( D_{2n} \) si n es impar
La cosa es que no sé muy bien por donde empezar, sé que \( r \) es la matriz que describe las rotaciones, que \( s \) es la matriz que describe las reflexiones sobre el eje x y en los anteriores apartados del ejercicio hemos visto que \( D_{2n}=\left\{{Id,r,r^2,...,r^{n-1},s,rs,r^2s,...,r^{n-1}s}\right\} \) y que es un grupo de orden 2n.
También hemos visto que \( G\approx{D_{2n}} \) donde \( G \) es un grupo abstracto generado por dos elementos \( x,y \) de orden n y 2 respectivamente, sujetos a la relación \( yxy=x^{-1} \).
Para demostrar que es normal se me ocurre utilizar esta relación \( yxy=x^{-1} \), pero como no sé muy bien como describir este subgrupo se me dificulta un poco todo \( <r^d> \) con \( d|n \)
Un saludo y muchas gracias
