Hola, solo quiero saber si lo que he hecho para resolver el ejercicio es correcto o hay algún error. He hecho lo siguiente:
Primero podemos utilizar el teorema de Euler-Fermat que nos dice que dado m>1 un entero. Si \( a\in{\mathbb{Z}} \) verifica que \( mcd(a,m)=1 \) entonces se cumple que \( a^{\phi(m)}\equiv{1}(mod m) \).
Entonces, tendríamos que \( 27^{30}\equiv{1}(mod 31) \). Además, sabemos que si \( a\equiv{b}(mod 31) \) entonces \( 27^a\equiv{27^b}(mod 31) \).
Por lo tanto, tenemos que estudiar \( 27^{27} \).
Observamos que \( 27^{27}=3^{3\cdot{27}}=3^{81} \) y entonces \( 3^{81}(mod 30) \) es lo mismo que \( 3\cdot{\left(3^{80}(mod 10)\right)} \)
Pero de nuevo por el teorema de Euler, \( 3^{\phi(10)}\equiv{3^4}\equiv{1}(mod 10) \) y \( 3^{80}\equiv{3^{4\cdot{20}+0}}\equiv{3^0}\equiv{1}(mod 10) \)
De ahí: \( 27^{27}\equiv{3^{81}}\equiv{3}(mod 30) \)
Y módulo 31 tendríamos que \( 27^{27^{27}}\equiv{27^3}\equiv{\left(-4\right)^3}\equiv{\left(-2\right)^6}\equiv{2^6}\equiv{64}(mod 31) \)
Por lo tanto, el resto de dividir \( 27^{27^{27}} \) por \( 31 \) es \( 64 \)
Un saludo y muchas gracias
