[franma]

Buenas a todos,

El enunuciado dice lo siguiente:
a) Mostrar que si \( A\in \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z}) \) entonces el máximo común divisor de cada fila de \( A \) es \( 1 \), y lo mismo vale para cada columna de \( A \).
b) Probar que \( \mathbf{GL}_2(\mathbb{Z}) \) esta generado por los elementos:

\( \begin{pmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \)

Sugerencia: Recordar que multiplicar una matriz \( A \) por estos elementos equivale a hacer operaciones elementales en las filas o columnas de \( A \). Recordar también el algoritmo de Euclides.

Por las dudas recuerdo que \( \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z}) \) son las matrices con coeficientes en \( \mathbb{Z} \) invertibles y cuya inversa también tiene coeficientes en \( \mathbb{Z} \). Ya hemos visto en clase que se tiene \( \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z}) = \{A \in M_n(\mathbb{Z}) : \det(A)= \pm 1\} \).

Bien, creo que con el apartado (a) no he tenido problemas, si escribimos la matriz \( A = (v_1 | \cdots | v_n) \) y escribimos \( v_j = (a_1,...,a_n) = \text{mcd}(a_1,...,a_n) (a_1',...,a_n') =: \text{mcd}(a_1,...,a_n) v_j' \) tenemos que:

\( \pm 1 = \det (A) = \det(v_1,...,v_j,...,v_n)= \det(v_1,...,\text{mcd}(a_1,...,a_n) v_j',...,v_n) = \text{mcd}(a_1,...,a_n) \det(v_1,...,v_j',...,v_n) \)

Pero este ultimo producto es de enteros, luego debe ser  \( \text{mcd}(a_1,...,a_n)= \pm 1 \) y  \( \det(v_1,...,v_j',...,v_n) = \pm 1 \). Análogamente se prueba para las filas de \( A \).

Ahora para el apartado (b), no tengo muy fresco el algoritmo de Euclides, pero supongo que nos interesara su relación con el teorema de Bezout, es decir, que existe una combinación lineal de las entradas de una columna (o fila) de \( A \) tal que suma \( 1 \).
Pero no he logrado relacionar esto con las transformaciones elementales que me han dado, he visto que:

• La primer matriz equivale a sumar la segunda fila a la primera.
• La segunda matriz intercambia las filas.
• La tercer matriz cambia el signo de la primer fila.

(todo esto multiplicando por las matrices a izquierda)

¿Alguna idea para seguir?

Saludos,
Franco.

[Masacroso]

Sean \( A:=\left[\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right] \), \( B:=\left[\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right] \) y \( C:=\left[\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}\right] \). Es algo engorroso de demostrar pero aplicando \( A,B \) y \( C \) a izquierda o derecha de cualquier matriz \( M\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) \) vas obteniendo una matriz con sólo unos y ceros.

Supón que \( M_{1,1}\cdot M_{2,1}\neq 0 \), entonces a partir de \( M \) es fácil de ver que multiplicando un número finito de veces por la izquierda por \( B \) y \( C \) siempre podremos obtener una nueva matriz \( \tilde M \) tal que \( \tilde M_{1,1}>\tilde M_{2,1}>0 \), entonces \( \tilde M_{1,1}=k\tilde M_{2,1}+r \) con \( k>0 \) y \( \tilde M_{2,1}>r\geqslant 0 \), y por tanto si \( J_\ell :=CBA^\ell BCB \) obtenemos que \( F:=J_kM \) es una matriz tal que \( \tilde M_{2,1}=F_{1,1}>F_{2,1}=r \). Así, después de una serie finita de multiplicaciones por la izquierda de \( \tilde M \) por matrices \( J_\ell  \) para distintos valores de \( \ell \in \mathbb{N} \), el algoritmo de Euclides nos muestra que llegaremos a una matriz \( H \) tal que \( H_{1,1}=1 \) y \( H_{2,1}=0 \). Ahora observemos que \( \tilde H:=HB \) tiene las columnas intercambiadas, por lo que podemos volver a aplicar lo mismo si \( \tilde H_{1,1}\cdot \tilde H_{2,1}\neq 0 \), obteniendo finalmente una matriz invertible cuyos coeficientes pertenecen al conjunto \( \{-1,0,1\} \).

Finalmente observar que si \( M_{1,1}\cdot M_{2,1}=0 \) (y \( M\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) \)) entonces necesariamente \( M_{1,1},M_{2,1}\in\{-1,0,1\} \).

Básicamente lo que he mostrado es que si \( M\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) \) entonces existen matrices \( R,S\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) \) tales que \( RMS\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})\cap \{-1,0,1\}^{2\times 2} \), donde tanto \( R \) como \( S \) son un producto finito de matrices \( A \), \( B \) y \( C \).

Quedaría por ver que cualquier matriz de \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})\cap \{-1,0,1\}^{2\times 2} \) es reducible a un producto finito de las matrices \( A,B \) y \( C \). En particular observa que \( A^{-1} \), \( B^{-1} \) y \( C^{-1} \) son también producto finito de matrices \( A,B \) y \( C \) ya que \( B^{-1}=B \), que \( C^{-1}=C \) y que \( A^{-1}=CAC \), si no he cometido algún error en los cálculos.