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Mensajes - Sintesis

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Matemática Discreta y Algoritmos / Demostración con enteros y naturales

« en: 28 Octubre, 2023, 09:37 pm »

Buenas, tenia que hacer esta demostración y pensé en hacerla por inducción, pero no estoy seguro de si es valido? O como podría hacerla

Sean $ a,b\in{\mathbb{Z}} $. Probar que $ a-b | a^n-b^n, \forall{n}\in{\mathbb{N}} $

Probabilidad / Re: [Consulta] Ejercicio de probabilidad, valor esperado

« en: 09 Septiembre, 2023, 01:15 am »

Cita de: Masacroso en 08 Septiembre, 2023, 08:05 am

Lo veo bien. Únicamente te faltó decir en el enunciado que las probabilidades dadas son para acertar las preguntas, aunque se entiende por el contexto que debe ser a eso a lo que se refieren.

Gracias, si, me falto agregar esa parte del enunciado.

Probabilidad / [Consulta] Ejercicio de probabilidad, valor esperado

« en: 08 Septiembre, 2023, 04:22 am »

Buenas, tengo que resolver un problema de probabilidad, pero no estoy seguro de si este bien:

Enunciado: Se debe elegir entre dos preguntas para responder primero, la 1 tiene 0.8 de probabilidad y la segunda 0.5, si se responde bien la primera pregunta elegida, se puede responder la otra, responder bien la pregunta 1, tiene como premio $1000, y la 2 $2000, si se responde mal la primera pregunta elegida el juego termina, cual se debe responder primero para maximizar el valor esperado?

De momento lo resolví así:

$ X: $ Dinero ganado al elegir responder la pregunta 1 primero.
$ P.A: $ Preguntas acertadas.

$
R_X =\left\{{0, 1000, 3000}\right\}
$

Función de probabilidad de masa de X:
$
\begin{bmatrix}{x}&{0}&{1000}&{3000}\\{f(x)}&{0.2}&{0.8}&{0.4}\\{P.A}&{0}&{1}&{2}\end{bmatrix}
$

$
E(X) = 0.8*1000 + 0.4*3000 = 2000
$

$ Y: $ Dinero ganado al elegir responder la pregunta 2 primero.

$
R_Y =\left\{{0, 2000, 3000}\right\}
$

Función de probabilidad de masa de Y:
$
\begin{bmatrix}{y}&{0}&{2000}&{3000}\\{f(y)}&{0.5}&{0.5}&{0.4}\\{P.A}&{0}&{1}&{2}\end{bmatrix}
$

$
E(Y) = 0.5*2000 + 0.4*3000 = 2200
$

Probabilidad / Re: Ejercicio de probabilidad con variables binomiales o de Poisson

« en: 27 Noviembre, 2022, 09:56 pm »

Gracias Luis Fuentes, y esta no sería binomial porque no tiene un numero "n" fijo de experimentos?

Probabilidad / Ejercicio de probabilidad con variables binomiales o de Poisson

« en: 26 Noviembre, 2022, 01:15 am »

Hola, estaba empezando a ver el tema de distribución de probabilidad de Poisson y binomiales, tengo que resolver este ejercicio, lo hice con variables binomiales, pero no se si está bien resuelto o si se hace con Poisson.

Un usuario tiene 4 contraseñas para recuperar su cuenta, prueba una por una hasta encontrar la correcta, sea X el número de contraseñas incorrectas probadas hasta encontrar la correcta, encontrar E(x) y V(X).

$ X\sim{Bin(4, 0.25)} , E(X) = 4 * 0.25 = 1, V(X) = 1-0.25 = 0.75 $

Libros / Libro de probabilidad con el tema de vectores aleatorios

« en: 07 Noviembre, 2022, 10:42 pm »

Buenas, andaba buscando algún libro de probabilidad que tenga bien desarrollado el tema de vectores aleatorios, lo busque en el libro de Devore y el de Ross, de introducción a la probabilidad y estadística pero no encontré nada sobre este tema

Cual me recomiendan?

Edit: Me sirve en otros idiomas también, en varias variables aleatorias, gracias de antemano, saludos.

Probabilidad / Re: Me da distintos resultados dependiendo de como lo resuelva

« en: 16 Septiembre, 2022, 05:42 pm »

Cita de: Masacroso en 01 Septiembre, 2022, 03:52 am

Cita de: Sintesis en 01 Septiembre, 2022, 12:59 am
Hola, tengo que resolver un problema de probabilidades, los sucesos son independientes entre si, estuve intentándolo por 2 caminos pero me dan distintos resultados (uno se que esta mal pero no entiendo por que), este es el camino que esta mal.

$ P(A) = 0,01 $
$ P(B) = 0,02 $
$ P(C) = 0,02 $

$ P((A\cap{B\cap{C}})^c) = P(A^c\cup{B^c\cup{C^c}}) = P(A^c) + P(B^c) + P(C^c) - P(A^c\cap{B^c\cap{C^c}}).. $
$ ..=1-P(A)+1-P(B)+1-P(C)-P(A^c).P(B^c).P(C^c) = 3-0,05-(0,99.0,98.0,98) = 1,99 $

De la otra forma me da 0,99

Para hacerlo de esa manera tienes que utilizar el principio de inclusión-exclusión, en tu caso tienes que

$ \displaystyle{
\Pr [A^\complement \cup B^\complement \cup C^\complement ]=\Pr [A^\complement ]+\Pr [B^\complement ]+\Pr [C^\complement ]-\Pr [A^\complement \cap B^\complement ]-\Pr [B^\complement \cap C^\complement ]-\Pr [A^\complement \cap C^\complement ]+\Pr [A^\complement \cap B^\complement \cap C^\complement ]\\
=\Pr [A^\complement ]+\Pr [B^\complement ]+\Pr [C^\complement ]-\Pr [A^\complement ]\Pr [B^\complement ]-\Pr [B^\complement ]\Pr [C^\complement ]-\Pr [A^\complement ]\Pr [C^\complement ]+\Pr [A^\complement ]\Pr [B^\complement ]\Pr [C^\complement ]\\
=0,99+2\cdot 0,98-2\cdot 0,99\cdot 0,98-0,98^2+0,99\cdot 0,98^2= 0,999996
} $

donde he utilizado el hecho de que si $ A $ y $ B $ son independientes entonces también lo son los pares de eventos $ A, B^\complement $ o $ A^\complement ,B $ o $ A^\complement ,B^\complement $.

Gracias, voy a leer bien el principio de inclusion-exclusion.

Probabilidad / Me da distintos resultados dependiendo de como lo resuelva

« en: 01 Septiembre, 2022, 12:59 am »

Hola, tengo que resolver un problema de probabilidades, los sucesos son independientes entre si, estuve intentándolo por 2 caminos pero me dan distintos resultados (uno se que esta mal pero no entiendo por que), este es el camino que esta mal.

$ P(A) = 0,01 $
$ P(B) = 0,02 $
$ P(C) = 0,02 $

$ P((A\cap{B\cap{C}})^c) = P(A^c\cup{B^c\cup{C^c}}) = P(A^c) + P(B^c) + P(C^c) - P(A^c\cap{B^c\cap{C^c}}).. $
$ ..=1-P(A)+1-P(B)+1-P(C)-P(A^c).P(B^c).P(C^c) = 3-0,05-(0,99.0,98.0,98) = 1,99 $

De la otra forma me da 0,99

Cálculo de Varias Variables / Re: Integral de linea sobre campo vectorial

« en: 03 Julio, 2022, 01:21 am »

Cita de: franma en 01 Julio, 2022, 11:44 pm

Buenas Sintesis ,

No veo de donde has sacado esas integrales para calcular la integral en cuestión.

Consideremos las siguientes curvas para parametrizar el rectangulo:
$ \gamma_1(t)= (1-t)(0,0) + t(5,0)=(5t,0) $ con $ t\in[0,1] $
$ \gamma_2(t)= (1-t)(5,0) + t(5,4)=(5,4t) $ con $ t\in[0,1] $
$ \gamma_3(t)= (1-t)(5,4) + t(0,4)=(5(1-t),4) $ con $ t\in[0,1] $
$ \gamma_4(t)= (1-t)(0,4) + t(0,0)=(0,(1-t)4) $ con $ t\in[0,1] $

Luego por comodidad llamemos $ F(x,y)=(y^2,x^2y) $, la integral pedida es:
$ \displaystyle\int_C F = \sum_{i=1}^4{\int_{0}^{1}\left<{F\circ \gamma_i (t),\gamma_i ' (t)}\right>dt} $
$ \displaystyle=\int_{0}^{1}\left<{(0,0),(5,0)}\right>dt + \int_{0}^{1}\left<{ (16t^2,100t),(0,4)}\right>dt +\int_{0}^{1}\left<{ (16,100(1-t)^2),(-5,0)}\right>dt+\int_{0}^{1}\left<{ (16(1-t)^2,0),(0,-4)}\right>dt $
$ \displaystyle= 0 + \int_{0}^{1} 400tdt + \int_{0}^{1} -80dt + 0 = 200-80 = 120 $

Saludos,
Franco.

Gracias franma, entonces si se aplica a integrales sobre campos, estuve viendo mis parametrizaciones y tenia una linea parametrizada en sentido horario y un vector del campo mal evaluado, corrigiendo quedaría como:

$ \displaystyle\int_{0}^{4}25dt+\displaystyle\int_{5}^{0}16dt = 120 $

Saludos.

Cálculo de Varias Variables / Integral de linea sobre campo vectorial

« en: 01 Julio, 2022, 11:19 pm »

Hola, estaba intentando resolver esta integral de linea de forma convencional, por un ejercicio tengo que resolverla por teorema de Geen y después de forma convencional, ya la resolví con teorema de Green, pero no estoy seguro de si la estoy definiendo bien de forma convencional.

$ \displaystyle\int_{C}^{}y^2dx+x^2y dy $

Donde $ C $ es el rectángulo con vértices $ (0,0), (5,0), (5,4) $ y $ (0,4) $.

Pensé en dividir el rectángulo en 4 líneas y resolverla como con las integrales de linea sobre campos escalares cuando la curva es suave a trozos, pero no me da el mismo resultado que con el teorema de Green (120).

$ \displaystyle\int_{0}^{4} 25t dt + \displaystyle\int_{0}^{5} t^2 dt + \displaystyle\int_{0}^{5} 16 dt = \displaystyle\frac{965}{3} $

La integral sobre una de las líneas da 0, por eso no la agregue.

Cálculo de Varias Variables / Re: Demostración con divergencia de un campo vectorial

« en: 10 Junio, 2022, 03:55 am »

Cita de: geómetracat en 08 Junio, 2022, 08:14 am

Sí, está bien.

Gracias.

Cálculo de Varias Variables / Demostración con divergencia de un campo vectorial

« en: 08 Junio, 2022, 03:13 am »

Buenas, me dieron para hacer esta actividad con campos de divergencia, pero no entiendo como empezar, como puedo hacer?

Si $ F = \left<{M, N, P}\right> $ es un campo vectorial en $ \mathbb{R}^3 $ y $ f $ es un campo escalar en $ \mathbb{R}^3 $ de clase $ C^1 $ entonces $ f.divF+F\cdot{\nabla f} = div(fF) $

-------------
Edito:

Pude hacer una demostración, estaría bien así?, La derivada de producto de funciones aplica para parciales?

$ f.div(F)+F\cdot{\nabla f} $
$ ={Def. div} $
$ f.({\frac{{\partial M}}{{\partial x}}+ \frac{{\partial N}}{{\partial y}} + \frac{{\partial P}}{{\partial Z}}})+F\cdot{\nabla f} $
$ ={Def. \nabla f} $
$ f.(\frac{{\partial M}}{{\partial x}}+ \frac{{\partial N}}{{\partial y}} + \frac{{\partial P}}{{\partial Z}})+F\cdot{\left<{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} ; \frac{{\partial f}}{{\partial y}} ;\frac{{\partial f}}{{\partial z}} \right>} $
$ =Distributiva. \hspace{1mm} y \hspace{1mm} producto \hspace{1mm} punto $
$ f\frac{{\partial M}}{{\partial x}}+ f\frac{{\partial N}}{{\partial y}} +f \frac{{\partial P}}{{\partial z}}+ N \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + M \frac{{\partial f}}{{\partial y}} + P \frac{{\partial f}}{{\partial z}} $

$ div(fF) $
$ =Def. div $
$ \frac{{\partial fM}}{{\partial x}}+ + \frac{{\partial fN}}{{\partial y}} + \frac{{\partial fP}}{{\partial z}} $
$ =Derivada \hspace{1mm} de \hspace{1mm} producto \hspace{1mm} de \hspace{1mm} funciones $
$ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}M + \frac{{\partial M}}{{\partial x}}f + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}N + \frac{{\partial N}}{{\partial y}} f + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}P + \frac{{\partial P}}{{\partial z}}f $
$ =Conmutatividad \hspace{1mm} de \hspace{1mm} la \hspace{1mm} suma \hspace{1mm} y \hspace{1mm} multiplicación $
$ f\frac{{\partial M}}{{\partial x}}+ f\frac{{\partial N}}{{\partial y}} +f \frac{{\partial P}}{{\partial z}}+ N \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + M \frac{{\partial f}}{{\partial y}} + P \frac{{\partial f}}{{\partial z}} $

Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Determinar si el conjunto dado es un subespacio

« en: 20 Mayo, 2022, 05:46 am »

Gracias por sus respuestas, entonces la ultima parte de la demostración quedaría así:

$ ..=\left<{a;a+c+2;c}\right> $

Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Determinar si el conjunto dado es un subespacio

« en: 19 Mayo, 2022, 06:15 pm »

Hola, tengo que comprobar si este conjunto es un subespacio de $ \mathbb{R}^3 $, intente hacerla pero no estoy seguro de si uno de los pasos esta bien, ($ c_1 + c_2 +1 = c $), seria valida esa sustitución por propiedad de cierre?

$ C = \{(a,b,c)\in{\mathbb{R}^3}: b=a+c+1\} $

$ u = \left<{a_1; a_1+c_1+1; c_1}\right>, v=\left<{a_2;a_2 + c_2 + 1; c_2}\right> \in{C} $

Axioma 1 (la suma de dos objetos de C también pertenece a C):

$ u+v = \left<{a_1; a_1+c_1+1; c_1}\right> + \left<{a_2;a_2 + c_2 + 1; c_2}\right> = \left<{a_1 + a_2 ; a_1+a_2+c_1+c_2+1+1; c_1+c_2}\right>=.. $
$ ..= \left<{a_1 + a_2 ; (a_1+a_2)+(c_1+c_2+1)+1; c_1+c_2}\right> = \left<{a ; a+c+1; c}\right> $

$ (u+v) \in{C} $

Cálculo de Varias Variables / Lagrange para extremos de una función con restricción.

« en: 08 Mayo, 2022, 09:17 pm »

Hola, tenia una duda sobre como resolver este ejercicio, lo estuve intentando pero no me sale.

Función: $ f(x,y)=1-(\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2) = -\displaystyle\frac{x^2}{4}-y^2+1 $

Restriccion: $ x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}-1=0, g(x,y) = x^2+\displaystyle\frac{y^2}{4}-1 $,

$ \frac{df}{dx}=-\displaystyle\frac{x}{2}, \frac{df}{dy}=-2y, \frac{dg}{dx} = 2x, \frac{dg}{dy} = \displaystyle\frac{y}{2} $, continuas en $ \mathbb{R} ^2 $

$ \nabla f(x,y) = \left<{-\displaystyle\frac{x}{2}, -2y}\right>, r . \nabla g(x,y) = \left<{2xr, \displaystyle\frac{yr}{2}}\right> $

Después igualo los componentes de los gradientes y los pongo con la restricción en un sistema de ecuaciones pero no puedo resolverlo ya que no puedo despejar "r" en las ecuaciones que salen de igualar los componentes para que quede en términos de x e y, me queda igualado a constantes , como lo puedo resolver?

Libros / Re: Opiniones sobre introducción a la Probabilidad y estadística de Devore

« en: 28 Octubre, 2021, 09:09 pm »

Ya estoy leyendo este libro y quería comentar por si alguien que lea el post le sirve que es muy bueno, me ayudo bastante y me pareció mas practico y completo que los agregados en la bibliografía de la materia que curso, tiene ejemplos luego de la teoría, variedad de notaciones, explicaciones claras y muchas actividades (aunque todavía no hice muchas, por seguir los prácticos de la materia que curso).

Libros / Opiniones sobre introducción a la Probabilidad y estadística de Devore

« en: 16 Octubre, 2021, 03:47 am »

Hola, que opinan sobre este libro para introducirme a la estadística?, estoy estudiando ingeniería en informática.

Los temas que se ven en la materia según el programa son: probabilidad, variables aleatorias discretas, variables aleatorias continuas, distribuciones muestrales y grandes muestras, análisis exploratorio de datos, estimación puntual y por intervalos, prueba o test de hipótesis.

Quería alguna alternativa a la bibliografía que pusieron en el programa y encontré ese libro.

Cálculo de Varias Variables / Re: Demostración de parametrización

« en: 13 Abril, 2021, 07:26 pm »

Gracias, probé empezando como la otra y desarrollando con propiedades y me salió, saludos.

$ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}=\displaystyle\frac{a^2.cos^2(2t)}{a^2} = cos^2(2t) $
$ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}=\displaystyle\frac{b^2.sen^2(2t)}{b^2}= sen^2(2t) $
$ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= [cos^2(t) - sen^2(t)]^2 + [2sen(t).cos(t)]^2 $
$ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) -2sen^2(t)cos^2(t) + sen^4(t) +4sen^2(t).cos^2(t) $
$ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) -2sen^2(t)cos(t) + sen^4(t) +4sen^2(t).cos^2(t) $
$ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) +2sen^2(t)cos(t) + sen^4(t) $
$ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= (cos^2(t)+sen^2(t))^2 $
$ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= 1^2 $

Cálculo de Varias Variables / Demostración de parametrización

« en: 13 Abril, 2021, 04:37 am »

Buenas, estoy intentando demostrar esto pero no se me ocurre como seguir.

Demostrar que $ r(t) = b.sen(t)j + a.cos(t)i $ es la forma parametrizada de una elipse con centro en (0;0) y semiejes a y b.

Pensé en sumar y elevar al cuadrado los dos lados.

$ x^2 + y^2 = b^2.sen^2(t) + a^2.cos^2(t) $

Pero no se me ocurre como seguir
----------------------------------------------------
Edito: Ya me salió, pero ahora no me sale esta, demostrar que es otra parametrización de la elipse anterior:

$ s(t) = a.sen(2t)i + b.cos(2t)j $ con $ t\in{[0;\pi]} $

Temas de Física / Vector rapidez y dirección

« en: 04 Marzo, 2021, 01:38 am »

Buenas, estaba intentando hacer este ejercicio y me salio la parte de la rapidez, pero no entiendo como calcular la dirección.

35. Una mujer camina al oeste en la cubierta de un barco a 5 km/h. El barco se dirige al norte a una rapidez de 35 km/h. Determine la rapidez y dirección de la mujer en relación a la superficie del agua.

Rapidez:

$
\sqrt[ ]{35² + 5 ²} \approx{35,3553}
$

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