Hola
Sea \( T \) un operador lineal en \( V \). Supongamos \( V=W_1\oplus ...\oplus W_k \) donde cada \( W_j \) es invariante por \( T \). Sea \( T_j \) el operador restricción de \( W_j \). Tengo que probar que \( \det(T)=\det(T_1)\cdot\ldots \cdot \det(T_k) \).
Conste que a la hora de estructurar una prueba de este tipo de resultados es importante saber en que resultados previos ya probados puedes basarte para hacer una demostración lo más coherente posible con ellos.
En principio puedes tomar una base de cada subespacio \( W_i \):
\( B_i=\{u_{i1},\ldots,u_{in_i}\} \)
Por ser subespacios suplementarios, todas ellas unidas forman una base de \( V \):
\( B=\{\underbrace{u_{11},\ldots,u_{1n_1}}_{W_1},\underbrace{u_{21},\ldots,u_{2n_2}}_{W_1},\ldots,\underbrace{u_{k1},\ldots,u_{kn_k}}_{W_1}\} \)
Debido a que los subespacios son invariantes, la matriz asociada a \( T \) respecto de la base \( B \) es, por bloques:
\( T_B=\begin{pmatrix}
T_{B_1}&0&\ldots&0\\
0&T_{B_2}&\ldots&0\\
\vdots &\vdots &\ddots& \vdots\\
0&0&\ldots&T_{B_k}\\\end{pmatrix} \)
siendo \( T_{B_i} \) la matriz asociada a \( Y|_{W_i} \) respecto de la base \( B_i \).
y por las propiedades de los determinantes de matrices por bloques:
\( det(T_B)=det(T_{B_1})det(T_{B_2})\ldots det(T_{B_k}) \)
Saludos.
