[aleesokorov]

Buenas buenas, qué tal? Estaba resolviendo un ejercicio (adjunto foto, ejercicio 9.2) y me pide que determine, además de la forma canónica de Jordan, una base de ésta.

2. \( T:\Bbb R^3\to \Bbb R^3 \), \( T(x,y,z)=(3x+2y-2x,4y-z,y+2z) \).

De donde la forma canónica me quedó:
\( J = \begin{bmatrix}{3}&{0}&{0}\\{1}&{3}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{bmatrix} \)

Quiero hallar \( B_J = \left\{{v_1,v_2,v_3}\right\} \) (Base de Jordan)  \( B_J \rightarrow{\mathbb{R}^3} \) tal que \( _B(T)_B =\begin{bmatrix}{3}&{0}&{0}\\{1}&{3}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{bmatrix}  \) pero no entiendo cómo hallar esos vectores.

Sé que \( T(v_1)=3v_1 + v_2 ; T(v_2)=3v_2 ; T(v_3)=3v_3 \) , supongo que \( v_2 , v_3 \) son vectores propios asociados al valor propio \( 3 \) entonces podría considerar los que hallé para formar la base del subespacio propio, pero luego no sé cómo hallar \( v_1 \)

Agradezco respuestas!
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Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Fernando Revilla]

    Bienvenido al foro. Aquí tienes un método para hallar un base de Jordan:

        https://fernandorevilla.es/2014/04/04/calculo-de-una-base-de-jordan/

P.D. Mejor ver el enunciado del ejercicio 9.2 en LaTeX que en archivo adjunto.

[Luis Fuentes]

Hola

 En este caso la matriz asociada en la base canónica es \( A=\begin{pmatrix}3&2&-2\\ 0 &4&-1\\0&1&2\\\end{pmatrix} \), con un único autovalor \( 3 \) de multiplicidad algebraica \( 3 \).

 Se tiene que \( rango(A-3Id)=1 \), por lo que tiene \( 3-1=2 \) cajas de Jordan asociadas, una de tamaño uno y otra de tamaño dos.

 Para la base toma \( u_3\in ker(A-3Id)=\Bbb R^3 \) tal que \( u_2=(A-3Id)u_3\neq 0 \) y luego  \( u_1\neq u_2\in ker(A-3Id) \). La base será \( \{u_1,u_2,u_3\}. \)

Saludos.