[MuTau]

Buenas tardes .

Tengo la siguiente pregunta.

Dado un espacio vectorial \( V \) de dimensión finita y una posible base para este, digamos \( S \). Si quiero determinar si \( span(S)=V \), entonces genero el sistema de ecuaciones a partir de la siguiente expresión: para cualquier \( v\in V \), \( v=x_1s_1+\dots +x_nv_n \), con \( x_1,x_2\dots ,x_n \) escalares. Ahora, si dicho SEL tiene infinitas soluciones, ¿eso garantiza que \( S \) genera a todo \( V \)?

[geómetracat]

Si para cualquier \( v\in V \) la ecuación \( v=x_1v_1+\dots+x_nv_n \) tiene infinitas soluciones, puedes concluir dos cosas. La primera, que \( \{v_1,\dots, v_n\} \) genera a \( V \) (por definición de sistema generador). Y la segunda que no es linealmente independiente, y por tanto que no es base, porque si fuera base la solución para cada \( v \) fijado sería única.