Autor Tema: Base para que una matriz sea diagonalizable.

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22 Marzo, 2024, 01:59 pm
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Tomasbruno

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Me encuentro con enunciados como el que figura en el asunto y no entiendo que es lo que se busca ni de que forma encontrarlo. Literalmente "hallar una base para que la matriz M sea diagonalizable".Y luego me dan la matriz. Alguien podría mostrarme un ejemplo? Describir que es lo que se busca.

22 Marzo, 2024, 02:16 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Me encuentro con enunciados como el que figura en el asunto y no entiendo que es lo que se busca ni de que forma encontrarlo. Literalmente "hallar una base para que la matriz M sea diagonalizable".Y luego me dan la matriz. Alguien podría mostrarme un ejemplo? Describir que es lo que se busca.

No tiene mucho sentido repetir en un foro lo que ya se ha descrito cienes de veces con sumo detalle en muchos libros o apuntes de matemáticas. Además en la era de la información en la que estamos inmersos muchas de estas cuestiones básicas se pueden resolver a un click de distancia, haciendo una búsqueda en cualquier gran buscador web.

Por ejemplo, si en startpage (el buscador que suelo usar) pongo "cómo diagonalizar una matriz" me sale como primer resultado lo siguiente (que tiene bastantes ejemplos):

https://www.matricesydeterminantes.com/matrices/como-diagonalizar-una-matriz-diagonalizable-diagonalizacion-de-matrices-2x2-3x3-4x4-ejercicios-resueltos-paso-a-paso/

Es un ejemplo, me salen decenas de páginas más con este proceso detallado al detalle, así como enlaces a bastantes vídeos en youtube sobre lo mismo. Igualmente, si no fuese suficiente, podemos hacer la búsqueda en inglés, encontrando aún más resultados.

Te dejo otro enlace que parece bastante bueno describiendo el proceso:

https://aga.frba.utn.edu.ar/diagonalizacion-de-una-matriz/

22 Marzo, 2024, 03:26 pm
Respuesta #2

Tomasbruno

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Ninguno de los enlaces que apuntas resuelve el enunciado que genera mi consulta. Si no vas a aportar nada no entiendo a que responde tu intervención.

22 Marzo, 2024, 03:52 pm
Respuesta #3

ani_pascual

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Hola:
Ninguno de los enlaces que apuntas resuelve el enunciado que genera mi consulta. Si no vas a aportar nada no entiendo a que responde tu intervención.
Solo he accedido al primer enlace propuesto por Masacroso y veo que en él sí se indica, una vez comprobado que la matriz es diagonalizable, cómo conseguir una base formada por vectores propios y, por tanto, respecto a la cuál la matriz asociada es diagonal.
Saludos
Paz  :)

22 Marzo, 2024, 04:02 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Ninguno de los enlaces que apuntas resuelve el enunciado que genera mi consulta. Si no vas a aportar nada no entiendo a que responde tu intervención.

 En el segundo enlace que te ha dado se explica:

 - Qué significa diagonalizar una matriz.



 Eso responde exactamente a "¿qué es lo que se busca?": dada una matriz \( M \) se busca una matriz inversible \( P \) y una matriz diagonal \( D \) tales que \( P^{-1}MP=D \).

 - Trae cuatro ejemplos. En concreto el ejemplo 3 ilustra EXACTAMENTE lo que te pides:



 Si no te queda claro, pide más explicaciones y pregunta las dudas cuantas veces haga falta. Pero valora el esfuerzo de los que intentan ofrecerte su ayuda.

Saludos.

22 Marzo, 2024, 04:53 pm
Respuesta #5

Tomasbruno

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Discúlpame , valoro que te tomes el tiempo de contestarme, pero me respondes mandándome a buscar en internet cosa que por supuesto ya hice y obviamente si estoy en un foro web entiendo que puede hacerse. En el enlace que compartís indica como diagonalizar una matriz y su relación con la semejanza etc cosas que ya conozco pero no es lo que estoy preguntando. Reformulo mi pregunta a ver si soy mas expresivo. Dada una TL y su matriz asociada en la base canónica esta matriz no resulta diagonalizable por no coincidir la multiplicidad algebraica de los autovalores con la dimensión geométrica de los subespacios generados por los auto-vectores asociados. Y luego me piden que halle una base para que resulte diagonalizable. Mi pregunta se refiere a que exista o no algún método, algoritmo , ecuación , identidad etc que me ayude a encontrar esa base para el espacio de partida o llegada? también desconozco eso .Que haga que la matriz asociada a esa TL en esa base sea luego diagonalizable o en todo caso a construir en alguna base una matriz diagonal de forma que representa a la TL. Gracias nuevamente por responder.

22 Marzo, 2024, 05:19 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Dada una TL y su matriz asociada en la base canónica esta matriz no resulta diagonalizable por no coincidir la multiplicidad algebraica de los autovalores con la dimensión geométrica de los subespacios generados por los auto-vectores asociados. Y luego me piden que halle una base para que resulte diagonalizable.

 Es imposible; si la multiplicidad algebraica no coincide con la geométrica, NO diagonaliza. No puedes hallar una base respecto a la cual la matriz asociada sea diagonal, porque no existe.

Citar
Mi pregunta se refiere a que exista o no algún método, algoritmo , ecuación , identidad etc que me ayude a encontrar esa base para el espacio de partida o llegada?  también desconozco eso
.

 Lo mismo; no hay tal algoritmo porque en ese caso NO existe base alguna en la que la matriz asociada sea diagonal.

 En todo esto se entiende que se trabaja con matrices respecto a la misma base de partida que de llegada; si consideramos bases distintas en uno y en otro, siempre pueden escogerse un par de bases (presumiblemente distintas) en el espacio de partida y de llegada tal que la matriz asociada es diagonal. Pero raramente tendrá interés eso en el contexto de endomorfismos.

Saludos.

22 Marzo, 2024, 06:42 pm
Respuesta #7

feriva

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Me encuentro con enunciados como el que figura en el asunto y no entiendo que es lo que se busca ni de que forma encontrarlo. Literalmente "hallar una base para que la matriz M sea diagonalizable".Y luego me dan la matriz. Alguien podría mostrarme un ejemplo? Describir que es lo que se busca.

Por lo que he ido leyendo en las respuestas sucesivas, te dan una matriz (supongo que normal, con números) que no es diagonalizable y te piden una base para que lo sea; y ya ha dicho Luis que es imposible.
Entonces, ¿seguro que el enunciado utiliza la palabra “diagonalizable” de forma literal? Porque a lo mejor estás empezando a ver bases de Jordan y lo que te piden es otra cosa.

Saludos.