Hola
Tengo el siguiente enunciado . \( S=\{A\in \Bbb R^{2\times 2}|AB=BA\} \) siendo \( B \) una matriz formada todo por unos. Encontrar una base del complemento ortogonal de \( S \) definiendo el producto interior como \( <A,B>=traza(A^t\cdot B). \)
En primer lugar identifica el subespacio \( S \). Dada \( A=\begin{pmatrix}x& y\\ z&t\\\end{pmatrix} \) analizamos cuando conmuta con \( B=\begin{pmatrix}1& 1\\ 1&1\\\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}x& y\\ z&t\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 1\\ 1&1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 1\\ 1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x& y\\ z&t\\\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow{}\quad \begin{cases}{z=y}\\{t=x}\\\end{cases} \)
Por tanto:
\( S=\left\{\begin{pmatrix}x& y\\ z&t\\\end{pmatrix},\,z=y,\,t=x\right\}=\left\{\begin{pmatrix}x& y\\ y&x\\\end{pmatrix},\,x,y\in \Bbb R\right\}=\left\langle \begin{pmatrix}1& 0\\0&1\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0& 1\\ 1&0\\\end{pmatrix}\right\rangle \)
Entonces para el ortogonal \( S^\bot \), basta calcular los vectores ortogonales a los generadores de \( S \).
\( S^\bot=\left\{A\in \Bbb R^{2\times 2},\,\left<A,\begin{pmatrix}1& 0\\0&1\\\end{pmatrix}\right>=0,\left<A,\begin{pmatrix}0& 1\\1&0\\\end{pmatrix}\right>=0\right\} \)
Donde si \( A=\begin{pmatrix}x& y\\ z&t\\\end{pmatrix} \):
\( \left<A,\begin{pmatrix}1& 0\\0&1\\\end{pmatrix}\right>=traza\left(A^t\cdot \begin{pmatrix}1& 0\\0&1\\\end{pmatrix}\right)=x+t \)
\( \left<A,\begin{pmatrix}0& 1\\1&0\\\end{pmatrix}\right>=traza\left(A^t\cdot \begin{pmatrix}0& 1\\1&0\\\end{pmatrix}\right)=y+z \)
y así:
\( S^\bot=\left\{\begin{pmatrix}x& y\\ z&t\\\end{pmatrix},\,x+t=0,\,y+z=0\right\} \)
Termina pasando de esas ecuaciones implícitas a los generadores de \( S^\bot \).
Saludos.
