[Restituto]

Hay una noción de campo vectorial en variedades diferenciables paracompactas orientables (por tanto admiten campos vectoriales que  no se anulan) que es la de campo direccional(solo lo he visto en inglés como direction field o line element field). Me gustaría entender en qué consiste mejor ya que a veces lo he visto como una simple distribución unidimensional y otras se define más específicamente como la asignación de vectores opuestos e iguales \( (n,-n)  \) en la dirección \( n \) a cada punto de la variedad. Supongo que aquí se debe entender que se asigna uno u otro de los 2 vectores según el sentido de la dirección \( n \) en cada punto o de otra forma me resulta confuso. Pero si es así no acabo de ver la diferencia entre un campo vectorial genérico que asigna un vector con su sentido y dirección a cada punto,  y el campo direccional, salvo que en este último se esté haciendo hincapié en distinguir que los vectores asignados actúan como vectores axiales(pseudovectores)

[geómetracat]

Hay una noción de campo vectorial en variedades diferenciables paracompactas orientables (por tanto admiten campos vectoriales que  no se anulan)

Cuidado, eso no es cierto. La esfera \( S^2 \) es una variedad diferenciable paracompacta orientable pero no admite ningún campo vectorial que no se anule (es el teorema de la bola peluda). Además, lo de ser orientable no es necesario para definir un campo direccional (ni un campo vectorial).

que es la de campo direccional(solo lo he visto en inglés como direction field o line element field). Me gustaría entender en qué consiste mejor ya que a veces lo he visto como una simple distribución unidimensional y otras se define más específicamente como la asignación de vectores opuestos e iguales \( (n,-n)  \) en la dirección \( n \) a cada punto de la variedad. Supongo que aquí se debe entender que se asigna uno u otro de los 2 vectores según el sentido de la dirección \( n \) en cada punto o de otra forma me resulta confuso. Pero si es así no acabo de ver la diferencia entre un campo vectorial genérico que asigna un vector con su sentido y dirección a cada punto,  y el campo direccional, salvo que en este último se esté haciendo hincapié en distinguir que los vectores asignados actúan como vectores axiales(pseudovectores)

Es una distribución unidimensional sin más, es decir, un subfibrado de rango \( 1 \) del fibrado tangente \( TM \).

La idea es que en vez de asignar un vector a cada punto de la variedad (que implica además de dirección, sentido y magnitud), le asocias a cada punto de la variedad una línea, que te da una dirección (sin tener en cuenta sentido ni magnitud). Por eso lo de asignar a cada punto un par de vectores en sentidos opuestos, \( (n,-n) \), porque de esta manera no estás definiendo un sentido, sino únicamente una dirección.

Todo campo vectorial que no se anula en ningún punto te define un campo direccional, pero al revés no. La gracia está en que con el campo direccional no tienes por qué poder hacer una elección consistente de sentido que te dé un campo vectorial.

Por ejemplo, si piensas en el típico ejemplo de la banda de Möbius como el espacio total de un fibrado de línea sobre \( S^1 \), no hay manera de definir un campo vectorial que en cada punto sea paralelo a la fibra, pero en cambio existe un campo direccional que en cada punto es paralelo a la fibra.

[Restituto]

Uf.perdón por el gazapo. Siempre me hago un lío entre paralelizabilidad y orientabilidad al definirlas con campo vectorial o forma diferencial no anulable respectivamente.

Respecto al campo direccional, entonces no define un sentido para la dirección distinguida por el subfibrado, pero supongo que se le puede añadir posteriormente ya que lo del campo direccional lo he visto también como condición para admitir una métrica Lorentziana en la dirección de género tiempo. Y claramente ahí se distingue los vectores que apuntal al futuro y al pasado o sea que tienen un sentido claro lo que supongo que la clave aquí será que se puede escoger este sentido al margen del resto de direcciones de la variedad por ser un subfibrado que sería lo que permite una signatura lorentziana, ¿no?

[geómetracat]

Uf.perdón por el gazapo. Siempre me hago un lío entre paralelizabilidad y orientabilidad al definirlas con campo vectorial o forma diferencial no anulable respectivamente.

No pasa nada, es normal liarse con tanto concepto. Pero de nuevo, cuidado porque paralelizable no es solo que exista un campo vectorial que no se anule, es más fuerte. Paralelizable es que el fibrado tangente sea trivial, lo que se traduce en que existen \( n \) campos vectoriales (con \( n \) la dimensión de la variedad) que en cada punto \( p\in M \) forman una base de \( T_pM \). En particular, estos campos nunca se anulan. Pero puede pasar que tengas un campo que no se anule nunca sin que la variedad sea paralelizablle.

Respecto al campo direccional, entonces no define un sentido para la dirección distinguida por el subfibrado, pero supongo que se le puede añadir posteriormente ya que lo del campo direccional lo he visto también como condición para admitir una métrica Lorentziana en la dirección de género tiempo. Y claramente ahí se distingue los vectores que apuntal al futuro y al pasado o sea que tienen un sentido claro lo que supongo que la clave aquí será que se puede escoger este sentido al margen del resto de direcciones de la variedad por ser un subfibrado que sería lo que permite una signatura lorentziana, ¿no?

La condición para la métrica Lorentziana la tengo vista como que exista un campo vectorial que no se anule. Si tienes eso, entonces puedes construir una métrica Lorentziana donde ese campo vectorial sea tipo tiempo.
Si tienes un campo direccional también es verdad que la variedad admite una métrica Lorentziana,  pero la relación no es tan directa, porque ya no es necesariamente cierto que tengas un campo vectorial tipo tiempo que induzca el campo de direcciones.

Lo que sucede es que si una variedad admite un campo direccional también admite un campo vectorial no nulo, pero puede pasar que no haya ningún campo vectorial induciendo el campo direccional.

[Restituto]

No pasa nada, es normal liarse con tanto concepto. Pero de nuevo, cuidado porque paralelizable no es solo que exista un campo vectorial que no se anule, es más fuerte. Paralelizable es que el fibrado tangente sea trivial, lo que se traduce en que existen \( n \) campos vectoriales (con \( n \) la dimensión de la variedad) que en cada punto \( p\in M \) forman una base de \( T_pM \). En particular, estos campos nunca se anulan. Pero puede pasar que tengas un campo que no se anule nunca sin que la variedad sea paralelizablle.

Respecto al campo direccional, entonces no define un sentido para la dirección distinguida por el subfibrado, pero supongo que se le puede añadir posteriormente ya que lo del campo direccional lo he visto también como condición para admitir una métrica Lorentziana en la dirección de género tiempo. Y claramente ahí se distingue los vectores que apuntal al futuro y al pasado o sea que tienen un sentido claro lo que supongo que la clave aquí será que se puede escoger este sentido al margen del resto de direcciones de la variedad por ser un subfibrado que sería lo que permite una signatura lorentziana, ¿no?

La condición para la métrica Lorentziana la tengo vista como que exista un campo vectorial que no se anule. Si tienes eso, entonces puedes construir una métrica Lorentziana donde ese campo vectorial sea tipo tiempo.
Si tienes un campo direccional también es verdad que la variedad admite una métrica Lorentziana,  pero la relación no es tan directa, porque ya no es necesariamente cierto que tengas un campo vectorial tipo tiempo que induzca el campo de direcciones.

Lo que sucede es que si una variedad admite un campo direccional también admite un campo vectorial no nulo, pero puede pasar que no haya ningún campo vectorial induciendo el campo direccional.

Gracias por las precisiones.
¿Bastaría para inducir el campo vectorial tipo tiempo el añadir el campo direccional a una métrica Riemanniana cualquiera \( h_{ab} \)normalizada con los vectores \( (n, -n)  \) a \( h_{ab}n^an^b =1 \) de forma que la suma quede como una métrica lorentziana con signo negativo para la dimensión temporal \( g_{ab}=h_{ab} -2(h_{ac}n^c) (h_{bd}n^d) \)?

[geómetracat]

¿Bastaría para inducir el campo vectorial tipo tiempo el añadir el campo direccional a una métrica Riemanniana cualquiera \( h_{ab} \)normalizada con los vectores \( (n, -n)  \) a \( h_{ab}n^an^b =1 \) de forma que la suma quede como una métrica lorentziana con signo negativo para la dimensión temporal \( g_{ab}=h_{ab} -2(h_{ac}n^c) (h_{bd}n^d) \)?

Pues sí, eso debería funcionar porque \( n \) aparece dos veces en la fórmula de manera que está bien definido independientemente de si tomas \( n \) o \( -n \). Eso te definirá una métrica de Lorentz en la variedad, y si no me equivoco la métrica será time-orientable si y solo si el campo direccional proviene de un campo vectorial, es decir, si es posible una elección consistente de sentido en cada línea del campo direccional.

[Restituto]

¿Bastaría para inducir el campo vectorial tipo tiempo el añadir el campo direccional a una métrica Riemanniana cualquiera \( h_{ab} \)normalizada con los vectores \( (n, -n)  \) a \( h_{ab}n^an^b =1 \) de forma que la suma quede como una métrica lorentziana con signo negativo para la dimensión temporal \( g_{ab}=h_{ab} -2(h_{ac}n^c) (h_{bd}n^d) \)?

Pues sí, eso debería funcionar porque \( n \) aparece dos veces en la fórmula de manera que está bien definido independientemente de si tomas \( n \) o \( -n \). Eso te definirá una métrica de Lorentz en la variedad, y si no me equivoco la métrica será time-orientable si y solo si el campo direccional proviene de un campo vectorial, es decir, si es posible una elección consistente de sentido en cada línea del campo direccional.

Exacto, y creo que  si imponemos previamente la condición de simple conexidad y no compacidad en la variedad(creo que esto me lo aclaraste hace tiempo) ya sería time orientable sin imponer el campo vectorial adicionalmente.

[geómetracat]

Exacto, y creo que  si imponemos previamente la condición de simple conexidad y no compacidad en la variedad(creo que esto me lo aclaraste hace tiempo) ya sería time orientable sin imponer el campo vectorial adicionalmente.

Si es simplemente conexa sí (independientemente de si la variedad es compacta o no) porque el campo direccional viene inducido por un campo vectorial. La cosa es análoga a la orientabilidad: si tienes un campo direccional que no viene inducido por ningún campo vectorial hay un recubridor de dos hojas donde el (lift del) campo direccional sí viene inducido por un campo vectorial. Pero si la variedad es simplemente conexa no hay recubridores no triviales, por lo que todo campo direccional viene inducido por un campo vectorial.

Si la variedad es no compacta y no es simplemente conexa, ya no es cierto que la métrica que obtienes por el procedimiento del mensaje anterior tenga que ser time-orientable. Por ejemplo, la banda de Möbius (abierta) da un contraejemplo. Lo que sí es cierto es que existirá otra métrica de Lorentz que sea time-orientable, pero ya no es necesariamente la definida por el campo direccional.