Autor Tema: Duda sobre Convergencia uniforme

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25 Marzo, 2021, 06:44 pm
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Farifutbol

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En un ejercicio de oposición se define la sucesión funcional \( f_n=senx \cdot \cos^n{x}  \) y a partir de ella la función \( g\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{sen\ x} \cdot {cos}^n{x} \):
Nos pide estudiar la convergencia uniforme de g(x) en los intervalos \( \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \) y\( \left[\varepsilon,\frac{\pi}{2}\right] \).
Mi duda es que la función no es continua ni en 0, ni en \( \frac{\pi}{2} \) en el libro que la busqué dice que si presenta convergencia uniforme en el segundo intervalo, por que?
Gracias

25 Marzo, 2021, 07:22 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En un ejercicio de oposición se define la sucesión funcional \( f_n=senx \cdot \cos^n{x}  \) y a partir de ella la función \( g\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{sen\ x} \cdot {cos}^n{x} \):
Nos pide estudiar la convergencia uniforme de g(x) en los intervalos \( \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \) y\( \left[\varepsilon,\frac{\pi}{2}\right] \).
Mi duda es que la función no es continua ni en 0, ni en \( \frac{\pi}{2} \) en el libro que la busqué dice que si presenta convergencia uniforme en el segundo intervalo, por que?
Gracias

Si que hay continuidad del límite en \( x=\pi/2 \). Por la fórmula de la suma de términos de una serie geométrica tienes que:

\( \color{blue}g_n(x)\color{black}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}f_k(x)=sin(x)\dfrac{1-cos^{n+1}(x)}{1-cos(x)} \) para \( x\in (0,\pi/2] \)

\( \color{blue}g_n(0)\color{black}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}f_k(0)=0 \)

de manera que \( g_n(\pi/2)=1 \).

El límite puntual es:

\( g(x)=\dfrac{sin(x)}{1-cos(x)} \) para \( x\in (0,\pi/2] \)

\( g(0)=0 \)

donde \( g(\pi/2)=1 \).


Saludos.

26 Marzo, 2021, 08:10 am
Respuesta #2

Farifutbol

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Mi duda era si se puede sumar la serie en \( \pi/2 \) ya que en ese punto el coseno vale cero y estaríamos sumando ceros. Entiendo que se puede sumar para cada valor de x  y después evaluarlo.
Gracias

26 Marzo, 2021, 09:19 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Mi duda era si se puede sumar la serie en \( \pi/2 \) ya que en ese punto el coseno vale cero y estaríamos sumando ceros. Entiendo que se puede sumar para cada valor de x  y después evaluarlo.
Gracias

¡Pero claro qué puedes sumar una serie de ceros!. Lo que pasa es que, cuidado, porque la serie empieza en \( n=0 \) y:

\( f_0(x)=sin(x)cos^0(x)=sin(x) \)

Por tanto \( f_0(\pi/2)=sin(\pi/2)=1 \) y lo que sumas es:

\( g(\pi/2)=1+0+0+0+\ldots=1 \)

Saludos.

26 Marzo, 2021, 09:53 am
Respuesta #4

Farifutbol

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Claro!
muchas gracias.
Estas dudas tontas que te surgen!