Hola
Andresyto: Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Por esta vez te hemos corregido las fórmulas desde la administración.
Toca hallar el límite de la foto sin usar la regla de L'hopital y la respuesta debe dar = \( e^{3/2} \).
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}(25x^3+4x-1)^{\frac{1}{Ln(x^2+7x-5)}} \)
En general supuesta la existencia de los límites implicados se tiene que:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)^{g(x)}=e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}g(x)ln(f(x))} \)
Ahora nota que:
\( \dfrac{ln(25x^3+4x-1)}{ln(x^2+7x-5)}=\dfrac{ln\left(x^3\left(25+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right)}{ln\left(x^2\left(1+\frac{7}{x}-\frac{5}{x^2}\right)\right)}=\dfrac{3ln(x)+ln\left(25+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)}{2ln(x)+ln\left(1+\frac{7}{x}-\frac{5}{x^2}\right)}=\\=
\dfrac{3+\dfrac{ln\left(25+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)}{ln(x)}}{2+\dfrac{ln\left(1+\frac{7}{x}-\frac{5}{x^2}\right)}{ln(x)}} \)
Concluye...
Saludos.