Hola tengo una duda sobre este tema.

En ese video hallan el valor de x usando triángulos ,si bien entiendo el procedimiento , no me cierra una cosa , tengo entendido que la suma de los ángulos opuestos en cualquier cuadrilátero es 180 , ¿correcto?, con ese valor de x que hallan no se cumple eso.
¿ Está mal el procedimiento o algo no tengo claro con los ángulos interiores del cuadrilátero? 

Hola tengo el siguiente enunciado
Dados los polinomios  \( P(x)=(4a+b)x^2+5x+3 \) , \( Q(x)=(x-3)(2x+1) \) y \( R(x)=(a-b)x^3+cx+1 \) determinar a,b,c para que los polinomios P y Q sean opuestos, R tenga como raíz a \( x=1 \) y R sea divisible por el polinomio \( t(x)=2x-4 \)

Por teoría se que \( P(x)=C(x)Q(x)+R(x) \)

Intente hacerlo por sistemas de ecuaciones, pero tengo dudas del valor de \( C(x) \) que en mi sistema no aparece , hice lo siguiente

\( R(1)=0=a+b+c-1\\ R(2)=0=8a-8b+2c-1 \)

luego para que P sea opuesto a Q, solo considere \( P(x)=-Q(x)\rightarrow{}(4a+b)x^2+5x+3=-(x-3)(2x+1)=-2x^2+5x+3 \) de donde

\( 4a+b=-2 \)

3 ecuaciones con 3 incognitas , pero no sé si lo pensé bien , dado que tengo la duda sobre \( C(x) \)
Dudas:
Duda 1: Para que sean opuestos P y Q solo tengo que poner \( P(x)=-Q(x)C(x)+R(x) \) o ¿ese signo negativo multiplica a Q C y R?
Duda 2: \( C(x) \) no me lo dan en el problema  tengo que asumir que es una constante para que no me cambie el grado de P ¿correcto? el problema es que valor es esa constante 
Duda 3: Si  R es divisible por \( t(x) \) entonces , por el teorema del resto  R(2)=0 , esta bien? o necesariamente t(x) debe ser de la forma  \( t(x)=x\pm{a} \)
Duda 4: hay otra manera de encarar el problema sin sistemas de ecuaciones ?

Hola tengo una duda con este tema en particular , entiendo que una función de este estilo

\( f(x)=a\sin (bx+c)+d  \) su argumento siempre esta acotado entre 
\( 0\leq{bx+c}\leq{2\pi} \) de donde operando un poco y considerando b>0 se obtiene \( \dfrac{-c}{b}\leq{x}\leq{\dfrac{2\pi-c}{b}} \) indicando los extremos inicial y final del periodo donde se encuentra la definida la función
Bueno, tengo el siguiente grafico 



Observando el gráfico puedo definir el extremo inicial -9/2 y el final 15/2 y además el periodo T=12, con eso obtengo que \( b=\dfrac{\pi}{6} \)

ahora si \( \dfrac{-c}{b}=-\dfrac{9}{2} \), obtengo \( c=\dfrac{3}{4}\pi \) tomando a=2 me queda

\( f(x)=2\sin(\dfrac{\pi}{6}x+\dfrac{3}{4}\pi)-4 \)
sin embargo cuando la pongo en el graficador , no es la misma función, pero si  cambio por

\( f(x)=-2\sin(\dfrac{\pi}{6}x-\dfrac{3}{4}\pi)-4 \) corresponde perfectamente

Mi pregunta es ¿ con qué criterio debo elegir los signos de a b c ? 

Hola tengo este enunciado
En un número de dos cifras la cifra de las decenas excede en 5 a la cifra de las unidades. Si se invierte el orden de las cifras resulta un nuevo numero que sumado con el anterior da 121. Encuentre el numero.

Hice lo siguiente  número es \( N=\overline{du} \) luego según el enunciado

\( \overline{du}+\overline{ud}=121 \) con \( d+5=u \)

entonces

\( 10d+u+10u+d=11d+11u=121\to d+u=11 \)

resolviendo el sistema obtengo que \( d=3 \to u=8 \) por lo tanto \( N=38 \)

pero la respuesta dice 83 

Hola me pueden orientar con este ejercicio por favor

Una empresa que organiza conciertos de rock determinó que para tener una asistencia de 800 espectadores debe cobrar $600 cada entrada del espectáculo que está produciendo.
Por otra parte, determinó que por cada $10 que rebaje el valor de la entrada, el número de asistentes se incrementa en 50. Determinen a qué precio debe bajarse la entrada para que el dinero recaudado en el recital sea el mayor posible. ¿Cuántas personas concurren al recital en dicho caso?

Tengo entendido que se trata de una ecuación cuadrática , pero no entiendo como plantearlo.

Tengo el siguiente enunciado que la verdad me está costando entender y ver que es lo que hay que hacer

Se emplea una broca cilíndrica de radio \( r \) para taladrar un oficio que pasa por el centro de una esfera de radio \( R \)
Hallar el volumen del anillo sólido resultante

¿A qué hace referencia lo de "anillo sólido"??

Hola tengo el siguiente ejercicio

A partir del desarrollo de Taylor de en \( a=0 \) para la función \( f(x)=\dfrac{1}{1+x} \) obtenga en desarrollo de serie de Taylor en \( a=0 \) de la función \( h(x)=\ln(x+1) \) . Determine los intervalos de convergencia

Pude obtener el desarrollo de Taylor de

\( \dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-.........(-1)^n x^n \)

Lo que no me queda claro, es como obtener la otra serie utilizando esta, ¿me pueden explicar por favor? gracias

Hola tengo un ejercicio que me genera ciertas inquietudes

Para qué valores de x se verifica \( -\sqrt{x}\geq{2x-10} \)

el conjunto de existencia es \( x\geq{0} \)

elevando al cuadrado \( (-\sqrt{x})^2\geq{(2x-10)^2} \)

con lo cual \( 0\geq{4x^2-41x+100}\geq{4(x-4)(x-25/4)} \)

donde la solución es \( 4\leq{x}\leq{25/4}\wedge x\geq{0} \)

finalmente \( 4\leq{x}\leq{25/4} \)

Sin embargo, si planteo

\( -\sqrt{x}\geq{2x-10} \to \sqrt{x}\leq{-2x+10} \)

operando de forma análoga a la anterior

\( 0\leq{4x^2-41x+100}\leq{4(x-4)(x-25/4)} \)

la solución es

\( (-\infty,4] \vee [25/4, \infty)\wedge x\geq{0} \)

finalmente \( [0,4] \vee [25/4, \infty) \)

Nó entiendo porqué me dan cosas distintas 

Hola me pueden decir donde me estoy confundiendo acá:

Determine la cantidad de alambre necesario para cercar los 4 lados de un campo cuadrado cuya diagonal es 10 veces más larga que cada uno de los lados 10 metros más larga que cada uno de los lados
Exprese el resultado en función de \( \sqrt{2} \)

Planteo lo siguiente : Analizo solo el triángulo rectángulo que define la diagonal y dos de los catetos , a los cuales llamo x , entonces

\( D=x-10 \) por pitagoras \( (x-10)^2=x^2+x^2=2x^2 \) de donde queda la cuadrática \( x^2+20x-100=0 \) de donde las raíces son 

\( x=-20+20\sqrt{2} \vee x=-20-20\sqrt{2} \) como x no puede ser negativa

\( x=-20+20\sqrt{2} \) por lo tanto el total de alambre es \( P=4x=4\cdot(-20+20\sqrt{2}) \)

pero nó es la respuesta  :'(

EDITADO

EDITADO 2

Hola tengo el siguiente enunciado

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene 2 cm mas de largo que un cateto, y 4cm  mas de largo que el otro cateto. Determine el área del triángulo

Pude plantear que

\( h=\sqrt{(x+4)^2+(y+2)^2} \)

pero no sé de donde sacar la otra ecuación. puede ser,  ¿que falten datos en el enunciado  ?