[Centro]

Hola!!!! A ver si alguien puede hacer este problema:

Hallar, razonadamente, los números naturales que son iguales a la diferencia entre el cubo y el cuadrado de la suma de sus cifras.

Saludos.

[Numerarius]

Bueno. Yo he encontrado más fácilmente un número tal que es igual a la diferencia entre la cuarta potencia y la tercera potencia de la suma de sus cifras.

[Numerarius]

Como no soy Ramanuyan, he avanzado algo con ayuda del ordenador.

Creo que en los números entre el 1 y el 10.000 sólo hay uno que cumple que es igual a la suma de sus cifras al cubo menos la suma de sus cifras al cuadrado.

[Numerarius]

Creo que ya lo tengo.

[Centro]

Gracias por las respuestas, pero ha de haber alguna forma de llegar a esos resultados sin ayuda de ordenador....¿cuál será?....

[rubenrosas]

   El cero parecería cumplir ésa condición.Pero el problema sería casi un chiste.

[rubenrosas]

 Si 11 está escrito en una cierta base,como 2 es la suma de sus cifras resulta la diferencia del cubo menos su cuadrado 8-4= 4 = 11 en base tres
 Lo mismo en infinidad de ejmplos

[transmigrado]

si solucionas esto tienes tu respuesta:

\( a^3-a^2=x \)


\( a=\displaystyle\sum_{i=1}^b{ent(\displaystyle\frac{x}{10^(b-k)})-10ent(\displaystyle\frac{x}{10^(b+1-k)})} \)

b el numero de cifras de x

[pedroc71]

si solucionas esto tienes tu respuesta:

\( a^3-a^2=x \)


\( a=\displaystyle\sum_{i=1}^b{ent(\displaystyle\frac{x}{10^(b-k)})-10ent(\displaystyle\frac{x}{10^(b+1-k)})} \)

b el numero de cifras de x

Con i=k, ¿no? No acabo de ver como ese sumatorio elimina posibilidades y nos ayuda a calcular el número.

[pedroc71]

Podemos buscar metodos para eliminar posibilidades, que nos ayuden a encontrar antes la solución que ir probando una a una.

Sea el número natural   N=...fedcba     donde cada letra representa un dígito comprendido entre 1 y 9.
Planteemos en ecuación la condición que nos piden:

\( (...+f+e+d+c+b+a)^3-(...+f+e+d+c+b+a)^2=N \)

Sacando factor común:
\( (...+f+e+d+c+b+a)^2(...+f+e+d+c+b+a-1)=N \)

Despejando el cuadrado:
\( (...+f+e+d+c+b+a)^2=\displaystyle\frac{N}{(...+f+e+d+c+b+a-1)} \)

Osea que N divide a la suma de las cifras más uno y ademas el cociente es un cuadrado perfecto.
Ahora vas probando con una cifra, con 2, con 3 y encuentras antes las soluciones.
Puedes ir acotando valores, puesto que cada cifra está comprendida entre 1 y 9, la suma estará acotada tambien. A ver si luego vengo con mas tiempo y lo desarrollo entero