Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{K}^3 \) la cuadrica con ecuación \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \). Sea \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \). Hallar las ecuaciones cartesianas y parametricas de \( T_p Q \cap U \), donde \( T_p Q \) es el plano tangente a \( Q \) en el punto \( (1:0:0:1) \) y \( U \) tiene ecuación \( x_1+x_2-x_4=0. \)
Hola, ¿cual es la idea de este ejercicio?
Julio_fmat: Preguntas por un ejercicio, te respondemos y en unos días preguntas por otro donde se usan exactamente las mismas técnicas y no es que no te salga, es que dices que no sabes ni por donde empezar.
¿Qué opinas sobre eso? ¿Crees que te están sirviendo de algo todas tus preguntas? ¿Estás aprendiendo algo?¿El qué?.
Gracias el_manco, pero no necesariamente son los mismos problemas, son similares, parecidos.
Claro que me sirven mis preguntas, por algo es que las posteo, y si no he dado las gracias algunas veces es por falta de tiempo nada mas.
Sea \( Q\subset \mathbb{P}_\mathbb{K}^3 \) la cuadrica con ecuación \( Q: x_1^2-x_2^2-2x_3^2-x_4^2-4x_2x_3=0 \). Sea \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \). Hallar las ecuaciones cartesianas y parametricas de \( T_p Q \cap U \), donde \( T_p Q \) es el plano tangente a \( Q \) en el punto \( (1:0:0:1) \) y \( U \) tiene ecuación \( x_1+x_2-x_4=0. \)
Hola, ¿cual es la idea de este ejercicio?
Gracias por la ayuda, me queda que \( T_p Q: x_1=0, -x_4=0 \).
Por lo tanto, \( T_p Q\cap Q: 2x_1+x_2-2x_4=0. \) Para hacer las ecuaciones parametricas he pensado en hacer \( x_1=\lambda_1, x_2=\lambda_2 \), pero \( x_3 \)?? Y las cartesianas como quedan?
HolaGracias por la ayuda, me queda que \( T_p Q: x_1=0, -x_4=0 \).
No. No te pueden quedar dos ecuaciones. Intenta entender lo que haces. Estás hallando un PLANO. Un plano en el espacio proyectivo está definido por una única ecuación implícita.
No tiene sentido que hagas cuentas a ciegas, sin entender la geometría de lo que haces.CitarPor lo tanto, \( T_p Q\cap Q: 2x_1+x_2-2x_4=0. \) Para hacer las ecuaciones parametricas he pensado en hacer \( x_1=\lambda_1, x_2=\lambda_2 \), pero \( x_3 \)?? Y las cartesianas como quedan?
Si realmente te quedase \( T_p Q\cap Q: 2x_1+x_2-2x_4=0 \) eso YA es una ecuación cartesiana. ¿Cómo es posible qué preguntes cómo queda?.
Ahora bien; está mal, claro. Una intersección de dos planos distintos debe de ser una recta, que está definida por DOS ecuaciones cartesianas.
En fin, comienza revisando y reflexionando sobre lo primero que te he dicho.
Saludos.
Gracias el_manco, multiplique mal las matrices. Ahora, \( T_p Q: x_1-x_4=0. \) Luego, \( T_p Q\cap Q: x_2=0. \)
Gracias el_manco, pero tengo la siguiente duda. Se define la recta tangente como sigue:
Definición: La recta tangente \( T_p C \) a \( C:=V(P)\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) en un punto suave \( p:=(a:b:c)\in C \) es:\( T_p C: \, x\dfrac{\partial P}{\partial x}(a,b,c)+y\dfrac{\partial P}{\partial y}(a,b,c)+z\dfrac{\partial P}{\partial z}(a,b,c)=0. \)
Entonces, ¿cuál seria la diferencia de escribir la ecuación como matriz con los datos de la cuadrica? No me queda claro. :banghead:
HolaGracias el_manco, pero tengo la siguiente duda. Se define la recta tangente como sigue:
Definición: La recta tangente \( T_p C \) a \( C:=V(P)\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) en un punto suave \( p:=(a:b:c)\in C \) es:\( T_p C: \, x\dfrac{\partial P}{\partial x}(a,b,c)+y\dfrac{\partial P}{\partial y}(a,b,c)+z\dfrac{\partial P}{\partial z}(a,b,c)=0. \)
Entonces, ¿cuál seria la diferencia de escribir la ecuación como matriz con los datos de la cuadrica? No me queda claro. :banghead:
Es lo mismo. Es decir si \( A \) es la matriz de la cónica tienes que su ecuación es:
\( P(x,y,z)=0\qquad \textsf{ con }\qquad P(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} \)
Entonces para hallar el plano tangente en un punto \( (a,b,c) \) da lo mismo hacer:
\( T_p C: \, x\dfrac{\partial P}{\partial x}(a,b,c)+y\dfrac{\partial P}{\partial y}(a,b,c)+z\dfrac{\partial P}{\partial z}(a,b,c)=0. \) (*)
que:
\( T_p C: \,\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)
De hecho la ecuación (*) matricialmente puede escribirse como:
\( gradiente(P)(a,b,c)\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)
y el gradiente de:
\( P(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} \)
es:
\( gradiente(P)(x,y,z)=2\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A \)
Saludos.
Gracias el_manco, tengo otra duda. Si \( x_2=0 \) es la ecuacion cartesiana de \( T_p Q \cap U \), entonces la ecuacion parametrica es
\( \rho \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \)
??
El vector \( \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \) es un punto de la recta interseccion, y la columna \( \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix} \) ??