Autor Tema: Dada una esfera, hallar las coordenadas de un nuevo polo

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25 Abril, 2022, 01:26 am
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dfacum

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Dada una esfera de radio \( r \) centrada en el origen con su polo llamado \( P_0 \) y dos puntos pertenecientes a ella \( P_1= [h_1,k_1,l_1] \)  y  \( P_2= [h_2,k_2,l_2] \) con distancias al polo \( d_1 \) y \( d_2 \) respectivamente, hallar las coordenadas de \( P'_0 \) perteneciente a la esfera que hacen \( d'_1=d'_2 \) y la distancia \( P_0P'_0 \) mínima.

25 Abril, 2022, 10:21 am
Respuesta #1

geómetracat

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Si entiendo correctamente el enunciado, diría que una construcción para obtener el punto que buscas es la siguiente. Primero consideras la recta que pasa por \[ P_1 \] y \[ P_2 \] y tomas el plano \[ \pi \] que es ortogonal a esta recta y pasa por el punto medio de \[ P_1,P_2 \]. La intersección de este plano con la esfera es una circunferencia (máxima, de hecho) que contiene a los puntos de la esfera que equidistan de \[ P_1 \] y \[ P_2 \]. Llama a esta circunferencia \[ C \]. Por tanto, el problema se reduce a encontrar el punto \[ P_0' \] de \[ C \] que minimiza la distancia a \[ P_0 \].

Aquí hay varios casos que pueden darse. Si \[ P_0 \] está en \[ C \] es que ya teníamos \[ d_1=d_2 \] y tomas \[ P_0'=P_0 \].
Si no, considera la recta que pasa por \[ P_0 \] y es perpendicular al plano \[ \pi \]. Si esta recta corta a \[ \pi \] en el origen (que es el centro de \( C \)) es que \[ P_0 \] está a la misma distancia de todos los puntos de \[ C \], y puedes tomar cualquiera de ellos como \[ P_0' \].
Si no pasa esto, considera el plano \( \pi' \) que contiene al origen y a la recta que pasa por \( P_0 \) y es ortogonal a \( \pi \). \[ \pi' \] interseca a \[ C \] en dos puntos. De estos dos puntos, el más cercano a \( P_0 \) es el punto \( P_0' \) buscado.

Eso sí, esto es una construcción que te da el punto que buscas, pero otro tema es calcular las coordenadas en función de las de los puntos iniciales. Ten en cuenta que hay casos degenerados donde hay muchas soluciones posibles, así que la solución no siempre va a ser única.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Abril, 2022, 07:13 pm
Respuesta #2

dfacum

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Muchas gracias geómetracat! creo que con tu planteo podré resolver el problema, se me ocurre por el método de los multiplicadores de Lagrange. Saludos.