Hay ciertas preguntas que tendrías que hacerlas en la parte de "comentarios", no en esta parte de "organización del curso", así no se desordena el curso.
La notación
\( I=\{0,1,2\} \)
no tiene nada extraño, es sólo un conjunto con tres elementos.
Ambos conjuntos, ya sea que varía j en N o j en I, son iguales.
¿Acaso opinas que no? Jeje. Ahí está la trampa. Para eso puse ese ejercicio.
Pero si hay dudas, mejor sigamos conversando en la parte de "Comentarios".
Los números reales pueden "construirse" a partir de los naturales,
y también pueden definirse "axiomáticamente"...
La definición axiomática es como está en Munkres, y obedece simplemente a razones de "ganar tiempo". No vale la pena perder tiempo con toda la construcción.
Además, considero que, matemáticamente hablando, las "construcciones" y los "axiomas" para introducir los números reales, o cualesquiera otros, no son "alternativas", sino "obligaciones".
En una teoría bien hecha tienen que darse las dos cosas: la construcción y los axiomas.
Los axiomas nos dicen qué propiedades son las que nos permiten llamar a un sistema matemático como "sistema de números reales".
El caso es que hay muchas construcciones posibles, y todas son válidas.
Pero .... ¿por qué son válidas? ¿Qué criterio matemático nos permite afirmar que son válidas?
Justamente, comprobando que satisfacen la misma lista de propiedades básicas o axiomas.
Porque, como conjuntos, pueden satisfacer propiedades adicionales, o simplemente hablar de objetos muy distintos.
Por otro lado, supongamos que nos hemos convencido de lo bueno de usar axiomas.
¿Es cierto que todos los sistemas que cumplen esos axiomas son equivalentes, y que da igual cuál se tome para el trabajo cotidiano con números? Respuesta sí: pero hay que demostrar esa "unicidad" o equivalencia. No es algo que se dé con cualquier lista de axiomas.
Bueno, tenemos axiomas para los números, y tenemos unicidad.
¿Es necesario hacer entonces esas famosas construcciones desde N?
La verdad es que sí, porque para que una teoría sea consistente necesita un "modelo" o sea, "un ejemplo construido a mano".
Vayamos al revés.
Hay gente que "construye" los numeros reales desde N, y luego dice que cumplen tal o cual propiedad o axioma...
Si ya tenemos una construcción... ¿necesitamos los axiomas?
Sí, porque alguien podría traer otra construcción distinta, y decir que todavia sirve.
¿A quién le doy la razón? Peor: ambos estarán en lo correcto.
Para decidir, hace falta establecer qué propiedades consideramos "generalmente" aceptadas para "ser" números reales.
Eso es la lista de axiomas de los reales, y nos topamos con ella nos guste o no.
Hay gente que dice que el "mëtodo axiomático" es una forma de introducir los números.
Mi opinión es que eso es una falacia muy grande.
Se está asumiendo que dar una "lista de axiomas" es un
método más que permite "construir" un sistema.
De hecho, hay grandes discusiones filosóficas sobre esto.
Dar axiomas no es lo mismo que "construir". Una lista de axiomas es solo una lista de propiedades, o de hipótesis. Y un sistema matemático las cumple o no las cumple.
Bien, te podría seguir hablando de esto largo rato, pero te remito al post que hice sobre la construcción de los sistemas numéricos.
Ahí vas a tener para divertirte:
Sistemas numéricos(paciencia que puede demorar en cargar).
En ese hilo, en el post de números reales vas a encontrar todas las equivalencias entre el axioma del supremo, y otros posibles axiomas equivalentes de los reales.
La discusión de todos estos temas debemos seguirla en la parte de "comentarios".
Así que posiblemente mueva estos mensajes desde aquí a esa sección.
Saludos
