Hola Quema.
No estoy seguro exactamente a qué tipo de desigualdad te refieres cuando dices \( a+\mu_{X}<0. \) La desigualdad que escribes es conocida como la
desigualdad de Cantelli. En el enlace que acabo de escribir está enunciada con otra notación, pero es exactamente la misma. El caso \( \lambda<0 \) de la Wikipedia corresponde al caso \( a+\mu_{X}>0 \) que presentas en tu pregunta. La desigualdad de Cantelli tiene una segunda parte donde (con la notación de la Wikipedia) se considera \( \lambda<0; \) pero no estoy seguro si es una versión de ese tipo lo que esperas.
Sobre la parte en la que \( Y \) es independiente de \( X, \) yo creo que además de saber la media y la varianza de \( Y \) tendríamos que saber dónde está soportada la variable. Por ejemplo si \( Y \) asume únicamente valores positivos y además \( \mu_{X}+Y>0 \), estamos en el caso de una de las desigualdades de Cantelly y tendríamos que
\begin{align*}(\;\mathbb{P}[X+Y<0]= \; )\quad\mathbb{E}[{\bf 1}_{\{X+Y<0\}}]&=\int\Big(\int{\bf 1}_{\{x+y<0\}}\,d\mathbb{P}_{X}(x)\Big)\,d\mathbb{P}_{Y}(y)\\&=\int\mathbb{E}[{\bf 1}_{\{X+y<0\}}]\,d\mathbb{P}_{Y}(y)\\&\leq \int \frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{X}^{2}+(y+\mu_{X})^{2}}\,d\mathbb{P}_{Y}(y)\\&=\sigma_{X}^{2}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma_{X}^{2}+(Y+\mu_{X})^{2}}\Big].
\end{align*}
Si la variable \( Y \) fuese discreta, las anteriores desigualdades quedarían, tal vez, más claras con sumatorias y esperanza condicional, pero el resultado sería el mismo. No se si esto te sea útil, ahora no veo como acotar la última esperanza para que quede una expresión más limpia que sólo dependa de \( \mu_{X},\;\mu_{Y},\;\sigma_{X} \) y \( \sigma_{Y}. \)
Saludos,
Enrique.
