Autor Tema: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

12 Abril, 2021, 06:41 pm
Respuesta #10

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Puede haber una forma de evitar la topología, y las sucesiones que no consigo visualizar. Son tres preguntas que me sugirieron en Physics Forums:

1- ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando restringimos \( c \) a \( \mathbb{Q} \)?

No existe. El cálculo se basa en las propiedades de los reales, y los racionales carecen de completitud.

2-  ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando \( c\notin{Q} \)?

Tampoco existe, por el mismo motivo.

3- ¿Qué precisa \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) para existir cuando \( c \) puede ser cualquier número real?

Precisa un entorno continuo y no abrupto. ¿También podría dar la definición formal de límite?.

Un saludo
No man is an island (John Donne)

12 Abril, 2021, 07:35 pm
Respuesta #11

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,075
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Puedes usar :
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.msg464969#msg464969

Será \( \displaystyle \lim_{x \to c} f(x)  \) o \( \displaystyle \lim_{c \to x} f(c)  \) supongo.
Es que la definición de límite es más fina y se debe usar lo que te dice Fernando:

Si \( F:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} \) con \( a \) punto de acumulación de \( A \), \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in A}{F(x)}=L \) y \( B\subset A \) con \( a \) punto de acumulación de \( B \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in B}{F(x)}=L \).

Entonces, al ser \(  \mathbb Q\subset \mathbb{R} \), \(  (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\subset \mathbb{R} \) y \( a=3 \) punto de acumulación tanto de \( \mathbb{Q} \) como de \( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \), concluimos que \( f^\prime (3)=6. \)



12 Abril, 2021, 09:52 pm
Respuesta #12

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,102
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 No sé si en estas preguntas te refieres a la función \( f(x) \) concreta con la que trabajabas antes o una cualquiera general.

 En principio para una general:
1- ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando restringimos \( c \) a \( \mathbb{Q} \)?

No existe. El cálculo se basa en las propiedades de los reales, y los racionales carecen de completitud.

 La definición de límite es exactamente la misma que en los reales, pero simplemente indicando que \( c\in \mathbb{Q} \).
 
 Así que el límite puede existir perfectamente; otra cosa es que para una función concreta tal límite no exista,

Citar
2-  ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando \( c\notin{Q} \)?

Tampoco existe, por el mismo motivo.

Si existe por el mismo motivo.  :D

Citar
3- ¿Qué precisa \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) para existir cuando \( c \) puede ser cualquier número real?

Precisa un entorno continuo y no abrupto. ¿También podría dar la definición formal de límite?.

Aquí de nuevo: la definición de límite en un punto \( x \) puede hacerse siempre que \( x \) sea un punto de acumulación del dominio de la función.

Otra cosa es que dependiendo de la función y el punto, el límite exista o no (pero ese problema no tiene nada que ver con en que conjunto estamos trabajando).

Saludos.

13 Abril, 2021, 11:21 am
Respuesta #13

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Bueno, hay una cuarta alternativa :): estudiarlo mejor. Y otra más, que tampoco descarto: un profesor particular al que ya he acudido en otras ocasiones, muy bueno.
Pero en principio, voy a necesitar tiempo, para estudiarlo mejor: sucesiones, topología... Vamos, la asignatura de la Uned en la que estoy matriculado (sólo me he matriculado en esta, Análisis).
¡Un saludo, RM!
No man is an island (John Donne)

22 Abril, 2021, 03:23 pm
Respuesta #14

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, estimado RM

El profesor particular no responde. Acudí al tutor de la Uned con las siguientes preguntas:

-¿Cuál es el dominio de la función?
- Probar que la función es derivable sólo en \( x=3 \)
- Probar que es discontinua si \( x\neq 3 \)
Mi objetivo era solucionar estas preguntas prescindiendo de la topología, con argumentos no topológicos :banghead:

Me ha respondido ayer: "Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua, por lo tanto, cuando \( x=3 \), la función existe y además es continua, ya que para todo valor diferente de \( x=3 \) al ser irracional, no existirá.
Si \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \) desde menos infinito a más infinito."

No entiendo esta respuesta, aunque estoy seguro de que, a pesar de ser expeditiva, es la respuesta.

Dudas:

- ¿Cuál es el dominio de la función?
- En este hilo se demostró, por sucesiones, y topológicamente, que es derivable sólo (sólo, ¿verdad? :-[) en \( x=3 \). En un principio he intentado hacer una aproximación a la topología: YouTube, internet...No lo consigo; por otra parte he decidido no entrar en este área, por centrarme más en cuestiones de análisis, la asignatura que tengo entre manos. Resumiendo, que me ciño al enunciado del Teorema de Caracterización de Límites por Sucesiones. ¿Cuál es en inglés este teorema?. No encuentro nada.
- ¿Tiene algo que ver en el teorema la densidad de \( \mathbb Q \) y \( \mathbb R\setminus{\mathbb Q} \) en \( \mathbb R \)?. No consigo visualizar el concepto de "para toda sucesión \( \left\{{x_n}\right\}_{n\in\mathbb N} \) tal que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left\{{x_n}\right\}}=c \)"

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

22 Abril, 2021, 05:13 pm
Respuesta #15

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,102
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Entiendo que estás hablando de esta función:

 \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  a de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

-¿Cuál es el dominio de la función?

El dominio de una función es aquellos puntos en los que está definida. En tu caso la función está definida para cualquier número real. Por tanto el dominio es todo \( \Bbb R \).

Si \( x=a \) un número racional su imagen será \( a^2 \).
Si \( x=b \) un número irracional su imagen será \( 6(b-3)+9 \).

Por ejemplo \( f(1/2)=(1/2)^2=1/4 \). Ó \( f(\sqrt{2})=6(\sqrt{2}-3)+9 \).

Citar
- Probar que la función es derivable sólo en \( x=3 \)
- Probar que es discontinua si \( x\neq 3 \)
Mi objetivo era solucionar estas preguntas prescindiendo de la topología, con argumentos no topológicos :banghead:

Antes de nada; en realidad la continuidad es un concepto topológico, por definición. Eso no lo vas poder evitar.

Entonces hay una cosa clave: no se trata de que uses o no argumentos topológicos. Se base en que te bases en RESULTADOS Y DEFINICIONES QUE TU HAYAS ESTUDIADO.

Entonces antes de seguir plantéate:

1) Qué definición de continuidad manejas y que caracterizaciones equivalentes conoces.
2) Qué definición de derivabilidad y caracterizaciones conoces.
3) Que resultados sobre límites conoces. ¿Alguno relacionado con funciones definidas a trozos?.

Fíjate que pocas veces uno demuestra cosas basándose únicamente en la definición; casi siempre se usan resultados auxiliares que una vez demostrados en general, aligeran el trabajo. Por ejemplo en el cálculo de límites uno se apoya siempre en los límites de las funciones elementales, que son conocidos, y en propiedades tipo "límite de la suma es la suma de los límites" (y otras análogas).

Me ha respondido ayer: "Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua, por lo tanto, cuando \( x=3 \), la función existe y además es continua, ya que para todo valor diferente de \( x=3 \) al ser irracional, no existirá.
Si \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \) desde menos infinito a más infinito."

Insisto en no contestarte más hasta que especifiques que resultados conoces para apoyarte en ellos.

Saludos.

23 Abril, 2021, 01:22 am
Respuesta #16

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
1) Qué definición de continuidad manejas y que caracterizaciones equivalentes conoces.

Definición. Se dice que una función \( f \) es continua en un punto \( a \) cuando

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=f(a) \)

Con la terminología épsilon-delta la definición de continuidad es de la siguiente forma:

Definición. Una función \( f \) es continua en un punto \( a \) cuando para cada \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \), tal que \( |f(x)-f(a)|<\epsilon \) siempre que \( |x-a|<\delta \)

Continuidad por la derecha, por la izquierda, continuidad en un intervalo abierto, en un intervalo cerrado, operaciones con funciones continuas (suma, resta, multiplicación, división y composición)

Teoremas fundamentales sobre las funciones continuas en intervalos

Teorema. Sean \( I \) un intervalo y \( f:I\rightarrow{\mathbb R} \) una función continua. Entonces el conjunto \( f(I)=\{f(x):x\in \mathbb R\} \) es bien un intervalo o bien un punto.

Teoremas de los valores intermedios, Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass, continuidad de la función inversa


2) Qué definición de derivabilidad y caracterizaciones conoces.

Funciones derivables

Tasa de variación media de una función
Tasa de variación instantánea
Derivada de una función en un punto. Relación entre derivabilidad y continuidad.
Interpretación geométrica de la derivada
Función derivada. Derivadas sucesivas
Derivadas de las operaciones con funciones
Derivadas de las funciones elementales
Interpretación física de la derivada
Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites: L'Hopital, indeterminaciones...
Teoremas de Rolle y del Valor Medio

3) Que resultados sobre límites conoces. ¿Alguno relacionado con funciones definidas a trozos?.

Sí. Las funciones definidas a trozos me resultan familiares: determinación de la continuidad en los puntos donde la función cambia de expresión.

Fíjate que pocas veces uno demuestra cosas basándose únicamente en la definición; casi siempre se usan resultados auxiliares que una vez demostrados en general, aligeran el trabajo. Por ejemplo en el cálculo de límites uno se apoya siempre en los límites de las funciones elementales, que son conocidos, y en propiedades tipo "límite de la suma es la suma de los límites" (y otras análogas).

Entendido.

Yo tengo ganas de resolver la duda del primer mensaje de este hilo: ¿por qué \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en el punto \( x=3 \)?. Pero esto no es una función definida a trozos; no sé ni cómo llamarla.

En el foro Physics Forums me recomiendan plantear al tutor qué camino seguir en el último post

Os dejo un enlace al hilo

https://www.physicsforums.com/threads/thoughts-on-the-derivative-of-a-function.1001549/page-2#post-6483992

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

23 Abril, 2021, 10:31 am
Respuesta #17

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,102
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Yo tengo ganas de resolver la duda del primer mensaje de este hilo: ¿por qué \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en el punto \( x=3 \)?. Pero esto no es una función definida a trozos; no sé ni cómo llamarla.

Si, SI es una función a trozo. Un trozo son los racionales en los que está definida de una manera y otro trozo los irracionales en los que está definida de otra.

Entonces por definición es derivable en \( 3 \) si existe el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to 3}{}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} \) (*)

Ese límite se desdobla en dos, distinguiendo si \( x \) es racional o irracional:

\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb Q,\,x \to 3}{}\dfrac{x^2-9}{x-3} \)

\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb I,\,x \to 3}{}\dfrac{6(x-3)+9-9}{x-3} \)

Para que el límite (*) existe los otros dos tienen que existir y tomar el mismo valor, lo cuál puedes demostrar fácilmente.

Formalmente lo que estamos usando es que si tienes \( g:\Bbb D\to \Bbb R \), \( D=A\cup B \) y consideras las restricciones:

\( g_1:\Bbb A\to \Bbb R,\quad g_1(x)=g(x) \)
\( g_2:\Bbb B\to \Bbb R,\quad g_2(x)=g(x) \)

Entonces si:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g_1(x)=\displaystyle\lim_{x \to a}{}g_2(x)=L \)

entonces:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=L \)

Si nunca te han dado este resultado deberías de intentar probarlo con epsilon-deltas, es bastante sencillo. Antes deberías de entender que lo que dice es muy razonable; si divides tu dominio en dos subconjuntos y acercándote a un punto \( a \), por cualquier de los dos subconjunto tu función se acerca a un mismo valor, entonces la función se acerca a ese valor al acercarse a \( a \) por todo el domino.

Podrías hacer la demostración específica para tu caso particular, es decir, usando que los dos límites separados tiene el mismo valor demostrar que el límite original lo tiene. Pero sería perder el tiempo en un caso particular, cuando con el mismo esfuerzo puedes demostrar el caso general.

Saludos.

23 Abril, 2021, 02:43 pm
Respuesta #18

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Muchas gracias, Luis!

Tengo que estudiar tu mensaje, y hacer los deberes. Te confieso que en un rápido vistazo me ha sonado todo, pero debo leerlo más detenidamente. Ya tengo toda la información en mis manos. En una semana os escribo. Mi objetivo, o mejor dicho, mi decisión, es: o bien lo soluciono por mí mismo, o bien lo abandono y retomo el libro de la asignatura en la que estoy matriculado (Análisis, del primer curso del grado de físicas). Pero no más mensajes. Arrastro el ejercicio desde hace mucho tiempo. Son muchos mensajes en dos foros diferentes, y ningún avance significativo por mi parte hasta el momento.

En cuanto al hilo que abrí en Physics Forums, no voy a aburrirles más. Voy a informarles de mi decisión: un último mensaje en RM en torno a este ejercicio, en este hilo, dentro de una semana, y un mensaje que voy a redactar a continuación, en el que, lo mejor que pueda, comunico mi intención de dejar de importunarles con mis preguntas.

¡Un abrazo, RM!
No man is an island (John Donne)

27 Abril, 2021, 05:51 pm
Respuesta #19

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,014
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, estimado RM.

No sé si he hecho bien el razonamiento. Estoy bastante seguro de los primeros pasos, pero no de la segunda parte. He dividido en dos el mensaje: (1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \); y (2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?. Gracias de antemano, RM. Ahí va:

¿Por qué \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) tiene derivada sólo en \( x=3 \)?

(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?

\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)

Este límite se convierte en dos:

(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)

(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)

Prueba de (a)

Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):

\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)

Prueba de (b)

Para \( x\in \mathbb I\;\forall{\epsilon_2>0}\;\exists\;{\delta_2} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_2\Rightarrow{|h(x)-9|=|(6(x-3)+9)-9|<\epsilon_2} \):

\( \delta_2=\dfrac{\epsilon_2}{6} \)

\( \delta=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3},\dfrac{\epsilon_2}{6}}\right ) \)


Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto \( a \) por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.

Prueba:

\( f:\mathbb R\rightarrow{\mathbb R} \)

\( h:\mathbb Q\rightarrow{\mathbb R} \)

\( g:\mathbb R\setminus{\mathbb Q}\rightarrow{\mathbb R} \)

(2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?

Asumamos que \( h(x)\neq g(x) \) si \( x\neq 3 \)

Tomamos \( \epsilon=|g(x)-h(x)|/2 \)

Como \( h \) es continuo en \( x=3 \)

\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|h(x)-6|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)

Ahora, por la desigualdad triangular

\( |f(x)-6|=|h(x)-6|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-6|}\geq |g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-h(3)|\geq\epsilon \)

Por otra parte, como \( g \) es continua en \( x=3 \)

\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|g(x)-9|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)

Ahora, por la desigualdad triangular

\( |f(x)-9|=|g(x)-9|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-9|}\geq|g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-g(3)|\geq\epsilon \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \delta>0 \) y \( \epsilon>0 \) y \( \begin{cases}{|f(x)-h(3)|\geq\epsilon}\\|f(x)-g(3)|\geq\epsilon\end{cases} \)

Por lo tanto

\( \exists{\epsilon>0}\;\forall{\delta>0}\;\exists{x\in \mathbb R\setminus{\{3\}}}:\;0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-f(3)|\geq\epsilon \)

¿Correcto?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)