Autor Tema: Ejercicio Función

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08 Abril, 2020, 09:18 pm
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Demagarian

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Hola a todos!
Les traigo este ejercicio de un multiple choice en el cual no estoy seguro de mi respuesta.
Si \( f(x)=1-f(x-1) \) ,entonces \(  f(x+1) = \)

\( a) f(x-1) \)   \(  b) 2-f(x-1) \)    \( c) f(x-1)+1 \)    \( d) f(x-1)+1 \)    \( e) -f(x-1)     \)

Yo al pensarlo llegué a pensar que la única forma de que pase esto sería con la función \( f(x)=1/2 \) por lo cual mi respuesta sería la a).

Muchas gracias!

09 Abril, 2020, 12:07 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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Si \( f(x)=1-f(x-1) \) ,entonces \(  f(x+1) = \)
\( a) f(x-1) \)   \(  b) 2-f(x-1) \)    \( c) f(x-1)+1 \)    \( d) f(x-1)+1 \)    \( e) -f(x-1)     \)

Sustituyendo \( x+1 \) por \( x \) en \( f(x)=1-f(x-1) \):

         \( f(x+1)=1-f[(x+1)-1]=1-f(x)=f(x-1). \)

La solución es la \( a) \), pero no necesitas saber si tal o cual función satisface la relación inicial.

09 Abril, 2020, 12:15 am
Respuesta #2

Demagarian

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Gracias por tu respuesta Fernando! Se ve que estaba en lo correcto.
Pensandolo mas allá igual, la unica forma de que esto ocurra es siendo \( f \) una función constante.
Saludos

09 Abril, 2020, 12:27 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Gracias por tu respuesta Fernando! Se ve que estaba en lo correcto.
Pensandolo mas allá igual, la unica forma de que esto ocurra es siendo \( f \) una función constante.

¿Sabrías demostrar que \( f(x)=1/2 \) es la única solución de la ecuación dada? Aunque lo supieras no sería rentable en general aplicarlo a un ejercicio de test. Estaríamos ante la resolución de una ecuación funcional que suelen ser ejercicios complicados.

09 Abril, 2020, 12:33 am
Respuesta #4

Demagarian

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La verdad que no tendría idea, soy un simple estudiante de ingenieria  ::)  :laugh:
Solamente al pensarlo "mentalmente" lo había supuesto.
Pero bueno, en fin, muchas gracias por tu ayuda!

09 Abril, 2020, 05:27 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

Pensandolo mas allá igual, la unica forma de que esto ocurra es siendo \( f \) una función constante.
Saludos

No, hay muchas funciones posibles no constantes. Si no me equivoco un ejemplo sería:

\( f(x)=\begin{cases} x-E(x) & \text{si}& 2n\leq{}x<2n+1 & \text{para algún}&n\in{\mathbb{Z}}\\1-x+E(x) & \text{si}& 2n-1\leq{}x<2n & \text{para algún}&n\in{\mathbb{Z}}\end{cases} \)

Donde \( E(x) \) denota la parte entera de \( x \).

Lo que sí que es cierto (no es muy complicado probarlo) es que si \( f \) es constante, entonces vale \( 1/2 \).

Un saludo.

09 Abril, 2020, 06:53 pm
Respuesta #6

Fernando Revilla

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No, hay muchas funciones posibles no constantes.

A mí la intuición me dice que también. En cualquier caso lo que yo quise transmitir a Demagarian es que su argumento para señalar la \( a) \) no es matemáticamente correcto (aunque me alegro que acertara   :)). No obstante no fue del todo azar pues le doy el mérito de haber conseguido su ejemplo. Emulando una frase de El Quijote: ¡Con las ecuaciones funcionales hemos dado Sancho!

09 Abril, 2020, 11:26 pm
Respuesta #7

martiniano

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Hola.

No, hay muchas funciones posibles no constantes.

A mí la intuición me dice que también.

Yo no tengo mucha idea sobre ecuaciones funcionales, pero veo que para toda función \( g:[0,1)\rightarrow{\mathbb{R}} \) existe exactamente una función \( f \) que cumple la condición del enunciado y que para todo \( x\in{[0,1)} \) es \( f(x)=g(x) \).

En efecto, a partir de la condición del enunciado se puede hallar \( f(x) \) para \( x\in{[1,2)} \) ya que, en ese intérvalo \( f(x)=1-g(x-1) \). Y después, a partir de lo que tú has demostrado, que viene a ser que \( f \) es periódica de periodo \( 2 \), ya se puede hallar \( f(x) \) para todo \( x \) real.

El ejemplo que di viene a ser el caso particular que se obtiene tomando \( g(x)=x \).

En cualquier caso lo que yo quise transmitir a Demagarian es que su argumento para señalar la \( a) \) no es matemáticamente correcto (aunque me alegro que acertara   :)). No obstante no fue del todo azar pues le doy el mérito de haber conseguido su ejemplo. Emulando una frase de El Quijote: ¡Con las ecuaciones funcionales hemos dado Sancho!

Sí claro, estoy de acuerdo en todo lo que dices. Además, pienso que la respuesta justificada de lo que pide el problema es la que ya has aportado, pero como he visto a Demagarian algo picado con lo de la existencia y unicidad de esas funciones pues me animé a intervenir.

Un saludo.

10 Abril, 2020, 01:38 am
Respuesta #8

Fernando Revilla

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..., pero como he visto a Demagarian algo picado con lo de la existencia y unicidad de esas funciones pues me animé a intervenir.

Hiciste bien en intervenir, enriqueció el hilo.