Buenas tardes, espero que me puedan ayudar con el siguiente problema el cual consiste en:
Sean las ecuaciones diferenciales:
\( -y''=f(x)y \) (1)
\( -z''= g(x)z \) (2)
Siendo f, g funciones continuas definidas sobre \( [a, b] \), tales que:
\( f(x)\geq{g(x)}, \forall{x\in{[a, b]}} \)
Sean \( y_1(x) \) y \( z_1(x) \) soluciones de (1) y (2) en \( [a, b] \) respectivamente. Por otra parte, se asume que, \( z_1(a) = z_1(b) \) y \( z_1(x) \neq 0 \) \( \forall{x\in{(a, b)}} \).
Sin intentar resolver las ecuaciones, probar que, o bien existe \( x_0 \in{(a, b)} \), tal que, \( y(x_0)=0 \), o bien, \( f(x)=g(x) \wedge y_1(x) = Cz_1(x), \forall{x\in{[a, b]}} \), dónde \( C \) es una constante.
Yo al momento de tratar de resolver este problema se me ocurrió utilizar el método del Wronskiano, pero no sé me ocurre como abordar este problema.
Cualquier ayuda lo agradezco de antemano.
Saludos.