[Gonzo]

Hola.

a y b son dos números primos e impares.

[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^{12}[/texx];

[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
 
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];

[texx] (d+b^2)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];

Para que [texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx] cumpla, [texx] (3a^2+3ab^4+b^8)[/texx] es igual a un número impar. Cierto?

Porque, [texx] (impar+impar)^3 = impar^3 + impar·(¿?)[/texx]. Es decir del producto [texx] b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx] hay que obtener un número impar, en consecuencia:

[texx] (d+b^2)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];

[texx] (d+b^2)^4 [/texx] d debe ser par. Par + impar = impar = (¿?). Pero es que ese d, mediante similitud con el triángulo de Pascal, es igual a a y/o 3.

[texx] (d+b^2)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] Cierto?

Consecuentemente [texx] (impar+impar)^3 ≠ impar^3 + impar·(impar+impar)[/texx].

Cierto?

[Luis Fuentes]

Hola

a y b son dos números primos e impares.

[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^{12}[/texx];

[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
 
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];

Hasta aquí, bien. Identidades inmediatas.

[texx] (d+b^2)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];

Esto no se a que viene. No sé porqué de repente metes un término con una \( d \) y lo igualas a eso.

Para que [texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx] cumpla

Es igualdad (identidad de hecho) se cumple siempre independientemente de la paridad de los términos.

, [texx] (3a^2+3ab^4+b^8)[/texx] es igual a un número impar. Cierto?

Porque, [texx] (impar+impar)^3 = impar^3 + impar·(¿?)[/texx].

Si \( a, b \) impares es cierto que \( (3a^2+3ab^4+b^8) \) es impar por ser suma de tres impares.

[texx] (d+b^2)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];

[texx] (d+b^2)^4 [/texx] d debe ser par. Par + impar = impar = (¿?).

Si. Si pretende esa igualdad y \( a,b \), son impares entonces \( d \) debe de ser par.

Pero es que ese \( d \), mediante similitud con el triángulo de Pascal, es igual a a y/o 3.

No. Eso (lo que está en rojo) no tiene ningún sentido y por tanto las consecuencias que pones después tampoco vienen ya a cuento.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

a y b son dos números coprimos e impares.

[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^{12}[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar; d es par;

Si [texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar ¿se puede considerar que?

[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (p·3·a+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.

¿Es cierta esta afirmación? ¿Se cumple siempre?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^{12}[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar; d es par;

Si [texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar ¿se puede considerar que?

[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (p·3·a+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.

¿Es cierta esta afirmación? ¿Se cumple siempre?

No estoy seguro de exactamente a qué afirmación te refires. Si es que de aquí:

[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx]

se puede deducir que \( d=3ap \), es decir, que \( d \) es múltiplo de \( 3 \) y de \( a \), en principio no veo porqué tendría que ser así. Lo que si es cierto es que siendo \( a,b \) impares, \( d \) es par.

Salidos.

[Gonzo]

Me refiero a esta afirmación:

[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (p·3·a+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Me refiero a esta afirmación:

[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (p·3·a+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.

¿Pero exactamente cuál es la afirmación?¿Cuál es la premisa y cuál es la conclusión que afirmas?. ¿Qué supones que es cierto y qué afirmas a partir de ahí?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

a y b son dos números coprimos e impares.

[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^12[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar; d es par;

Si [texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar ¿se puede considerar que?

[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (p·3·a+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.

Si se supone que esta afirmación es cierta, (equivocado o no) entonces:

[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) –p^4·3^4·a^4 – b^4 = (p·3·a+b)^4 –p^4·3^4·a^4 – b^4 [/texx];
[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) –p^4·3^4·a^4 – b^4 = 6 a b p (18 a^2 p^2 + 9 a b p + 2 b^2)[/texx];
[texx] -81 a^4 p^4 + a (3 a + 3 b^4) + (b^4 - 1) b^4= 6 a b p x[/texx];
[texx] -81 a^3 p^4 + (3 a + 3 b^4) + (b^4 - 1) b^4= 6 b p x[/texx] *; b es coprimo con a.
Entonces
[texx] (b^4 - 1) =2 a·[/texx];
[texx] b^4  = 2·a + 1[/texx], a es integro e impar. Se sustituye en *. Se despeja x.

[texx] x = (-81 a^3 p^4 + 4 a^2 + 13 a + 6)/(6 b p) ·[/texx]. Para todo valor de a, x es negativo. Pero claro, [texx] (b^4 - 1) =2 a·[/texx]; no tiene por que ser asi. Puede ser, [texx] (b^4 - 1) =k a·[/texx], siendo k un número par. Entonces la x, no tendría que ser negativa. Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

a y b son dos números coprimos e impares.

[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^12[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar; d es par;

Si [texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar ¿se puede considerar que?

[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (\color{red}\underbrace{p·3·a}_d\color{black}+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.

Si eso ya te dije que NO.

Si es que de aquí:

[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx]

se puede deducir que \( d=3ap \), es decir, que \( d \) es múltiplo de \( 3 \) y de \( a \), en principio no veo porqué tendría que ser así. Lo que si es cierto es que siendo \( a,b \) impares, \( d \) es par.

Si se supone que esta afirmación es cierta, (equivocado o no) entonces:

[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) –p^4·3^4·a^4 – b^4 = (p·3·a+b)^4 –p^4·3^4·a^4 – b^4 [/texx];
[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) –p^4·3^4·a^4 – b^4 = 6 a b p (18 a^2 p^2 + 9 a b p + 2 b^2)[/texx];
[texx] -81 a^4 p^4 + a (3 a + 3 b^4) + (b^4 - 1) b^4= 6 a b p x[/texx];
[texx] -81 a^3 p^4 + (3 a + 3 b^4) + (b^4 - 1) b^4= 6 b p x[/texx] *; b es coprimo con a.
Entonces
[texx] (b^4 - 1) =2 a·[/texx];

No veo como de lo anterior puedes deducir que \( b^4-1=2a \).

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx]
d es preciso que sea múltiplo de a o de 3 o de a y 3. Cierto?

(…)
[texx] -81 a^4 p^4 + a (3 a + 3 b^4) + (b^4 - 1) b^4= 6 a b p x[/texx];
[texx] -81 a^3 p^4 + (3 a + 3 b^4) + (b^4 - 1) b^4= 6 b p x[/texx] *; b es coprimo con a.

De este producto [texx] (b^4 - 1) b^4 [/texx] hay que obtener un número múltiplo de a. Si no es asi, a y b no son números enteros. ¿Cierto? Si b es coprimo con a, debe ser [texx] (b^4 - 1) [/texx]. Recordemos que b es impar, en consecuencia, [texx] (b^4 - 1) =2 a·[/texx] más preciso [texx] (b^4 - 1) =k·a·[/texx]. Aunque, si eso es asi, a y b, tampoco tendrán un factor común. Consecuentemente, a y b, deben tener un factor común no pudiendo ser coprimos. Porque si lo son, habran varaibles no enteras. Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx]
d es preciso que sea múltiplo de a o de 3 o de a y 3. Cierto?

No veo el motivo. ¿Por qué dices eso?.

Tenemos que:

\( (d+b)^4-b^8=3a(a+b^4) \)

Ahí lo que sabemos es que \( (d+b)^4-b^8 \) es multiplo de \( a \) y de \( 3 \). ¿Pero por qué \( d \)?.

Saludos.