Hola.
[texx] (a+p^3)^3=a^3+p^3·w^3 = a^3+3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] a^3+p^3·w^3 = a^3+3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] p^3·w^3 = 3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] p^3·w^3 =p^3 (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx];
[texx]w^3 = (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx];
[texx] (3a·(a+p^3)+ p^6)- w^3 = 0 [/texx];
[texx] 3a^2+3ap^3+ p^6- w^3 = 0 [/texx];
Despeje de a, ecuación de segundo grado.
[texx] a = 1/6 ((3)^{1/2} (4 w^3 - p^6) ^{1/2} - 3 p^3) [/texx] (*).
Si [texx]·w^3 = (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx] entonces busquemos [texx]·(w-1)w(w+1), w [/texx].
[texx](w-1)w(w+1) = (3a·(a+p^3)+ 6·s; w= p^6-6s[/texx].
Recordemos que en todos los productos de tres números consecutivos, [texx]· 2·3·4, 3·4·5, …, (w-1)w(w+1) [/texx] habrá entre sus factores un 6. Es decir:
Entre los factores del producto de [texx] 3a·(a+p^3)[/texx] hay un 6 porque la suma de a y p (dos números impares coprimos es un número par), en consecuencia:
[texx](w-1)w(w+1) = (3a·(a+p^3)+ 6·s[/texx] si [texx]·(w-1)w(w+1) [/texx] entre sus factores hay un 6, si en [texx] 3a·(a+p^3)[/texx] hay un 6 entre sus factores, forzosamente lo que sumemos, en este caso 6s, forzosamente debe tener un 6. Entonces podemos rescribir:
[texx] (3a·(a+p^3)+ 6·s[/texx] tal que [texx] 6(a·((a+p^3)/2)+s) [/texx]. Esta última es más restrictiva, por ejemplo si [texx] a=3, p=8 [/texx] no cumpliría, no seria un número entero. Aunque con la primera ecuación si que cumpliría. Por lo tanto:
[texx] (w-1)·w·(w+1) = 6(a·((a+p^3)/2)+s); w = p^6-6s[/texx].
Dividimos todo entre w tal que:
[texx] 6(a·((a+p^3)/2)+s)/(p^6-6s)= (w-1)·(w+1) = (p^6-6s-1)·( p^6-6s+1) = [/texx].
Hacemos un cambio de variable. [texx] ((a+p^3)/2)=t [/texx].
[texx] 6(a·t+s)/(p^6-6s)= (w-1)·(w+1) = (p^6-6s-1)·( p^6-6s+1) [/texx].
Dividimos esta ecuación en dos:
I) [texx] (w-1)(w+1) =(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx] hacemos el despeje de s, todas las variables son positivas;
[texx] s = 1/6 (p^6 - w) [/texx].
II) [texx] 6(a·t+s)/(p^6-6s)= (p^6-6s-1)·( p^6-6s+1) [/texx] despeje de s (todas las variables son positivas):
[texx] s = 1/6 ((-6 a t - p^6)^{1/3} + p^6) [/texx].
Se igualan las s:
[texx] 1/6 ((-6 a t - p^6)^(1/3) + p^6) =1/6 (p^6 - w) [/texx];
[texx] a = (w^3 - p^6)/(6 t) [/texx] (**).
Se igualan las a (*)(**).
[texx] 1/6 ((3)^{1/2} (4 w^3 - p^6) ^{1/2} - 3 p^3) = (w^3 - p^6)/(6 t) [/texx].
Se despeja p:
[texx] p = (w)^{1/2}[/texx].
La ecuación inicial:
[texx] (a+p^3)^3=a^3+p^3·w^3 [/texx];
[texx] (a+p^3)^3=a^3+(w^{1/2})^3·w^3 [/texx];
[texx] (a+p^3)^3=a^3+(w^{3/2})·w^3 [/texx];
[texx] (a+p^3)^3=a^3+(w^{3/2})·w^{6/2} [/texx];
[texx] (a+p^3)^3=a^3+w^{9/2} [/texx].
Que esta mal??
Atentamente.
