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No puedo entenderlo. ¿De verdad has leído mis últimos mensajes?. Toma \( x=2 \) y sustituye tu mismo en la desigualdad en rojo. ¿Se cumple?.
¿Tienes claro que \( -1\geq -5 \)?.
Hola¿Para \( y=2 \) existe algún \( x\in{[1,2]} \) tal que \( x-3\geq{5(2-3)} \)?
No puedo entenderlo. ¿De verdad has leído mis últimos mensajes?. Toma \( x=2 \) y sustituye tu mismo en la desigualdad en rojo. ¿Se cumple?.
¿Tienes claro que \( -1\geq -5 \)?.Citar¿Para \( x=2 \) existe algún \( y\in{[1,2]} \) tal que \( \big|y-3\big|\leq{\dfrac{\big|2-3\big|}{5}} \)?
OJO, ahí le estás metiendo un valor absoluto. En ese caso la función que te dije NO la cumple.
Saludos.
Si para cada \( x\in{[a,b]} \) existe algún \( y\in{[a,b]} \) tal que \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \), entonces, para cada \( y\in{[a,b]} \) existe algún \( x\in{[a,b]} \) tal que \( \color{red}\cancel{\color{black}f(x)\geq{5f(y)}} \) \( 5f(x)\geq{f(y)} \). ¿No?
Como el supuesto es para valores sólo negativos la función no alcanza el máximo.
Entonces, ¿no ves en esa cuentas que tu decías que tus condiciones (distintas a las del enunciado) no se cumplen para \( y=2 \) y en realidad si se cumplen?.
Por ejemplo la función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,2] \) cumple esas condiciones pero no se anula.
Entonces la función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,3] \) cumple ambas. Si \( y=2 \), tomando \( x=2 \) tienes que:
Si la función sólo toma valores negativos entonces las dos condiciones se cumplen siempre trivialmente sin más que tomar \( x=y \).
Por ejemplo la función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,2] \) cumple esas condiciones pero no se anula.
ii) Si una función \( f \) continua en \( [a,b] \), toma valores sólo negativos en \( [a,b] \), y verifica que para cada \( x\in{[a,b]} \) existe algún \( y\in{[a,b]} \) tal que \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \), entonces, \( f \) no alcanza el máximo en \( [a,b] \). Esto contradice el Teorema de Weierstrass.
Ahí sería \( |f(y)|\leq{\dfrac{|f(x)|}{5}} \) y si estamos suponiendo que la función toma valores negativos quitando el valor absoluto queda:
\( -f(y)\leq{\dfrac{-f(x)}{5}} \) ó equivalentemente \( f(y)\geq{\dfrac{f(x)}{5}} \)
En fin: sinceramente no se a donde quieres ir a parar con este hilo. Te empeñas en hacer razonamientos vagos (imprecisos), en lugar de seguir (aunque los rehagas a tu manera) los de Juan Pablo o delmar (y martiniano) que son esencialmente las dos formas de enfocar el problema (independientemente que luego se redacte así o asá).
CitarEs decir, ha de ser continua en algún \( y\in{[0,1]} \), (en este caso \( y=0 \)), donde la función debe anularse por tener una sucesión convergente a cero. ¿No?
Continua es en todo punto de su dominio por hipótesis. Entonces no viene muy a cuento decir "ha de ser continua en algún \( y\in{[0,1]} \)".
HolaPero la cuestión es la siguiente. Imagina de nuevo la función \( f(x)=x \) definida en \( [0,1] \). Ahora toma como punto inicial de la sucesión \( y_1=1 \). Podemos tomar por ejemplo \( y_2=1/5 \) que cumple \( f(y_2) \leq 2/10 f(y_1) \), y siguiendo así podemos tomar la sucesión \( y_k = 1/5^k \). Pero la función no alcanza ningún mínimo sobre los puntos de la sucesión, y eso no contradice para nada al teorema de Weierstrass (porque el conjunto de puntos de la sucesión no es un compacto).
La función tiene una sucesión convergente a cero en el compacto \( [0,1] \), por ser continua en él, debe anularse.
Si por "debe anularse" te refieres a que la función debe de anularse para algún \( x\in [0,1] \), de acuerdo. Nadie dice lo contrario.
Lo que está mal (tercera vez que lo repito hoy) es:Suponiendo valores sólo positivos la función \( f \) debe verificar \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \) para lo cual necesita anularse para algún \( n=1,2,3,\ldots \), o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).
En el ejemplo de geométracat la sucesión \( y_n=\dfrac{1}{5^n} \) cumple \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \), pero NO EXISTE \( n\in \Bbb N \) tal que \( f(y_n)=0. \)
Es decir es cierto que la función se anula, pero NO es cierto que la función se anule en un punto de la sucesión que es lo que tu afirmas en rojo.
Saludos.
Pero la cuestión es la siguiente. Imagina de nuevo la función \( f(x)=x \) definida en \( [0,1] \). Ahora toma como punto inicial de la sucesión \( y_1=1 \). Podemos tomar por ejemplo \( y_2=1/5 \) que cumple \( f(y_2) \leq 2/10 f(y_1) \), y siguiendo así podemos tomar la sucesión \( y_k = 1/5^k \). Pero la función no alcanza ningún mínimo sobre los puntos de la sucesión, y eso no contradice para nada al teorema de Weierstrass (porque el conjunto de puntos de la sucesión no es un compacto).
Si. Eso es por que \( 0^2=0 \). Esto es, cualquier función continua que se anula en algún punto, se anula en algún punto. Pero hay que probarlo para una función definida en un intervalo cualquiera \( [a,b] \). No tiene que estar el cero necesariamente en el dominio.
Que el cero esté en el domino no tiene nada que ver en todo esto. El ejemplo de \( x^2 \) en \( [-1,1] \) se puedes trasladar a \( (x-2)^2 \) en \( [1,3] \) con exactamente las mismas características.
CitarNo se pueden poner como ejemplo funciones que a priori se anulan en algún punto para probar que lo hacen. ¿No?
No se exactamente de qué estas hablando, ahí. Concreta de que ejemplos hablas, es decir para que se supone que estamos escogiendo tal o cual ejemplo. ¿Ejemplo de qué comportamiento? ¿Bajo qué condiciones?.
El razonamiento ahora es más sencillo.
Suponiendo valores sólo positivos la función \( f \) debe verificar \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \) para lo cual necesita anularse para algún \( n=1,2,3,\ldots \), o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).
No, no necesita anularse para algún \( n \). Eso está mal. Es la enésima vez que repites lo mismo. Es lo que tiene un hilo tan largo: razonamientos en bucle. Vuelve a la respuesta #124:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452755#msg452755
Saludos.
HolaSólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2 \) en \( [-1,1] \).
Pero en \( [2,3] \) también verifica lo citado y no se anula.
No. \[ f(x) =x^2 \] no cumple todas las condiciones del enunciado en \( [2,3] \). Concretamente no existe \( y\in{[2,3]} \) tal que \( f(y) \leq{f(2)/5} \). Luego no tiene por qué anularse.
Un saludo.
Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2 \) en \( [-1,1] \).
Tu dices: "ahora que \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \), \( (n\in{\mathbb{N}}) \)" como si eso fuera decisivo o suficiente para la contradicción. Pero no lo es. La clave es la convergencia a cero de esa sucesión y que la función no se anule en NINGÚN punto (no sólo que no se anule en los puntos de la sucesión).
Si una función converge a cero con alguna sucesión pero la función no se anula, ¿es continua?
Puede ser continua si el domino de la función no es compacto:
- Por ejemplo \( f:(0,+\infty)\to \Bbb R, \quad f(x)=1/x \) es continua y cumple que para \( y_n=n \), \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero no se anula.
- O \( f:(0,1)\to \Bbb R, \quad f(x)=x \) es continua y cumple que para \( y_n=1/n \), \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero no se anula.
Ahora si el dominio es compacto entonces si \( \{f(y_n)\}\to 0 \) y la función no se anula, NO puede ser continua.
O también si la sucesión \( \{y_n\} \) converge (en el dominio de la función) entonces, si \( \{f(y_n)\}\to 0 \) y la función no se anula, y NO puede ser continua.
Saludos.
La cuestión es como justificas lo que he marcado en rojo, como justificas que: "la función no alcanza el mínimo absoluto".
El supuesto es \( f(y_1)\neq 0 \) para todo \( y_1\in{[a,b]} \) y la función \( |f| \) converge a cero.