Hola,
seguramente sabes de donde sale la expresión que presenta numbsoul (no sale del sombrero de un mago
).
Llamemos \( \langle\cdot,\cdot\rangle =f(\cdot,\cdot) \) y \( H \) al espacio vectorial.
Probemos que \( f(\lambda x,y)=\lambda\,f(x,y) \) para todo \( \lambda\in\mathbb{R} \) y todo \( x,y\in H \). Sean \( x,y\in H \).
Supongo que ya probaste que \( f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z) \), no es difícil. Con esto, mediante inducción es fácil probar que
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i,z)=f\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i,z\right) \).
Se sigue que
\( f(nx,y)=f\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n x,y\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^nf(x,y)=n\,f(x,y)\,. \)
Además, de la definición de \( f \) se fácil probar que \( f(-x,y)=-f(x,y)\,. \), y con esto
\( f(\lambda x,y)=\lambda\, f(x,y)\qquad\forall\lambda\in\matjbb{Z}\,. \)
(Nota que el caso \( \lambda=0 \) se prueba trivialmente)
Sea ahora \( \lambda=\dfrac{p}{q} \) con \( p,q\in\mathbb{Z} \) y \( q\neq0 \).
\( q\, f(\lambda x,y)
=q\, f\Big(\frac{p}{q}x,y\Big)
=q\, f\Big(p\,\frac{x}{q},y\Big)
=pq\, f\left(\frac{x}{q},y\right)
=p\, f\left(q\frac{x}{q},y\right)
=p\, f\left(x,y\right) \)
y dividiendo por \( q \) se obtiene
\( f(\lambda x,y)=\lambda\, f(x,y)\qquad\forall\lambda\in\mathbb{Q}\,. \)
Utilizando la densidad de los racionales en los reales obtienes
\( f(\lambda x,y)=\lambda\, f(x,y) \) para todo \( \lambda\in\mathbb{R} \).
