[zorropardo]

La funcion $$f:[2,4) \rightarrow{  \mathbb{R} }$$ definida por ; $$ f(x)=-x^2+2x+1$$
es sobreyectiva? Porque.

[thadeu]

Claramente, no es sobreyectiva.
Para demostrar ello, bastará encontrar una cota superior. Ya que, de esta forma no será igual al conjunto de llegada que es el de los reales $$R$$
 Entonces tenemos
$$x^2+1\geq{2x}$$
De donde $$2\geq{-x^2+2x+1=f(x)}$$
Por lo que $$f(x)$$  está acotada y el conjunto de llegada $$R$$ no lo está.
Por lo tanto $$f(x)$$ no es sobreyectiva

[ani_pascual]

Hola:

La funcion $$f:[2,4) \rightarrow{  \mathbb{R} }$$ definida por ; $$ f(x)=-x^2+2x+1$$
es sobreyectiva? Porque.

O se me escapa algo o a mí me parece que no es sobreyectiva; \( \forall\,x\in [2,4[ \) es \( f(x)=-x^2+2x+1\leq \textcolor{red}{1} \) luego los valores reales superiores a \( \textcolor{red}{1} \) no tienen antiimagen en el intervalo \( [2,4[ \).
Se adelantó thadeu 
Saludos

[zorropardo]

Gracias por las respuestas. Lo pregunte porque en un problema dice que la inversa de esa funcion es: $$f^{-1}(x)=1+\sqrt{2-x}$$ con $$Dom(f^{-1})=<-7,1].$$ Pero como existe esa inversa si la funcion no es sobreyectiva. Pues para que exista la inversa la funcion debe ser biyectiva.

[Fernando Revilla]

Gracias por las respuestas. Lo pregunte porque en un problema dice que la inversa de esa funcion es: $$f^{-1}(x)=1+\sqrt{2-x}$$ con $$Dom(f^{-1})=<-7,1].$$ Pero como existe esa inversa si la funcion no es sobreyectiva. Pues para que exista la inversa la funcion debe ser biyectiva.

La función \( f:[2,4)\to \mathbb{R} \) no es sobreyectiva. Sin embargo \( f:[2,4)\to (-7,1] \) es biyectiva, por eso existe la inversa \( f^{-1}: (-7,1]\to [2,4) \) siendo efectivamente \( f^{-1}(x)=1+\sqrt{2-x}. \)

[zorropardo]

Muy agradecido. Veo que el enunciado del problema estaba mal planteado.