Buenos días, tengo dificultades a la hora de enfrentarme a topologías producto, cociente, etc.
Estoy ante el siguiente enunciado:
Se considera el espacio producto \( ([0,\infty),T_4)\times S \), S recta de Sorgenfrey. Hallar la adherencia e interior de \( A=[1,2)\times(0,1) \) respecto a la topología producto.
He razonado como sigue:
La recta de Sorgenfrey es el espacio topológico definido sobre la recta real generado por la base: B=\( \{ [a,b):a,b \in \mathbf{R}, a<b\} \)
Para calcular si un punto es interior o adherente en un e.t. producto \( (X x Y,T^{1} x T^{2}) \) tenemos que tener en cuenta dos cosas:
1) El conjunto que estemos hallando debe ser también un producto i.e., de la forma AxB. En tal caso, el problema que tenemos 'se lleva' a un problema en cada uno de los factores:
int(AxB)=int(A) x int(B)
Luego:
int(\( [1,2)x(0,1) \)) = int([1,2)) x int((0,1)) = (1,2) x (0,1).
2) Para trabajar 'bien' en la topología producto, hay que trabajar con bases de entornos de cada uno de los factores:
Base de entornos de \( x \in [0,\infty) \) en \( T_4 \), B = { \( B_x | x\in [0,\infty) \) }, \( B_x=[0,x+\epsilon) \)
Base de entornos de \( x \in (0,1) \) en S, B = {\( B_{x}^{'} | x \in (-\infty,\infty) \) }, \( B_x=[x,x+\epsilon) \)
Por tanto, una base de entornos de (x,y) en la topología producto \( (T_4, S) \) es {\( [0,x+\epsilon),[x,x+\epsilon) \)}.
Si tomamos ahora \( A=[1,2)x(0,1) \), no hay entornos de los anteriores dentro de A, luego:
int\( ([1,2)x(0,1))=\emptyset \)
No se si estoy razonando bien...
