Hola a todos, he descubierto la siguiente caracterización de conectitud para espacios topológicos, la cual me parece que puede ser útil de cara a demostrar que un espacio o subespacio no es conexo:
Sea \( X \) un espacio topológico y \( C \subset X \) un subconjunto cualquiera.
Entonces, \( C \) es conexo si, y solo si, dada cualquier partición \( C_1, C_2 \) de \( C \), con \( C_1, C_2 \) no vacíos, existe una red \( \{T_d\}_{d \in D} \) contenida en uno de estos conjuntos y un punto \( x \) en el otro conjunto tal que
\( T_d \xrightarrow[d \in D]{X} x \)
Si además \( X \) es \( N_1 \), podemos sustituir las redes por sucesiones en el teorema.
Ahora, lo que me pregunto es si la condición de que el espacio sea \( N_1 \) es realmente necesaria para cambiar redes por sucesiones. La implicación de derecha a izquierda es cierta siempre para redes, por lo que busco un ejemplo de un espacio \( X \) que sea conexo, que no sea \( N_1 \) y tal que exista una partición del espacio \( X_1, X_2 \) de modo que cualquier sucesión contenida en uno de los dos no pueda converger a ningún punto de la otra.
Mi idea había sido probar tomando como espacio \( \mathbb{R} \) con la topología de los complementos finitos, pero no he llegado a nada, y la verdad, no conozco más espacios que sean conexos y no \( N_1 \).
¿Alguna idea?
Un saludo y muchas gracias por las respuestas.
