Se puede probar de manera más detallada por contrarrecíproco usando la vacuidad de \(  L \):
Supongamos que dicha intersección no es el conjunto total \( X \), entonces (como \( X\neq\emptyset \)) existe un \( x\in X \) tal que \( x \) no está en la intersección. Esto implica que existe un \( k\in L \) tal que \( x\not\in G_k \), entonces necesariamente \( L\neq\emptyset \). Lo cual no es posible, ya que por hipótesis \( L=\emptyset \). Por tanto, no pueden existir elementos de \( X \) que no pertenezcan a la intersección, es decir, la intersección de una familia vacía de subconjuntos de un conjunto no vacío \( X \) es todo el conjunto \( X \).
De manera análoga, se puede probar que la unión de dicha familia es el conjunto vacío.