[AlbaDerivadas]

Se trata de expresar una función como serie de potencias:

\( f(z)= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-3i)^n \) siendo \( f(z)=\frac{1}{z-1} \) y \( c_n \) una sucesión de numeros complejos. El tema es que hay que sacar el valor de \( c_n \), y a mi desarrollando f(z) por la formula integral de cauchy me queda que \( c_n=(1-3i)^n \), pero no sé si está bien

Un saludo y gracias de antemano

[Fernando Revilla]

Se trata de expresar una función como serie de potencias: \( f(z)= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-3i)^n \) siendo \( f(z)=\frac{1}{z-1} \) y \( c_n \) una sucesión de numeros complejos. El tema es que hay que sacar el valor de \( c_n \), y a mi desarrollando f(z) por la formula integral de cauchy me queda que \( c_n=(1-3i)^n \), pero no sé si está bien

Efectúa el cambio \( w=z-3i \) con lo cual, \( f(z)=\dfrac{1}{w-(1-3i)}. \) En consecuencia,

          \( f(z)=\displaystyle-\dfrac{1}{1-3i}\cdot \frac{1}{1-\frac{w}{1-3i}}=-\dfrac{1}{1-3i}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{w^n}{(1-3i)^n}\quad\left(\frac{\left |{w}\right |}{\left |{1-3i}\right |}<1\right). \)

          \( f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\underbrace{-(1-3i)^{-n-1}}_{=c_n}\;(z-3i)^n\quad \left(\left |{z-3i}\right |<10\right). \)