[Adquidi]

Hola a tod@s:

Sabemos que las funciones holomorfas de variable compleja son armónicas pero quisiera saber si lo inverso es igualmente factible. En principio sé que no pero no sé qué pensar de lo que se expone en el libro de Churchill "Variable compleja y Aplicaciones" 7º ed. dice algo similar a esto (no tengo el texto delante):

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Recíprocamente, si u es armónica en S, puede encontrarse otra función v armónica en S; tal que f = u + iv es analítica en S. Las funciones u y v se denominan armónicas conjugadas.

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¿Alguien sería tan amable de ayudarme a entender esto?.
Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si \( u \) es armónica en una bola abierta cumple \( u_{xx}+u_{yy}=0 \).

 Ahora si tomas \( h(x+iy)=u_x(x,y)-iu_y(x,y) \) comprueba que cumple las condiciones de Cauachy-Riemann y por tanto es holomorfa en esa bola.

 Basta tomar una primitiva \( H \) de \( h \) tal que \( Re(H(x_0+iy_0))=u(x_0,y_0) \) para algún punto.

Saludos.

 

[Adquidi]

Muchas gracias Manco. ¿Debo entender que ser armónica no implica ser Holomorfa?.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias Manco. ¿Debo entender que ser armónica no implica ser Holomorfa?.

Es que la relación entre funciones armónicas y holomorfas debes de enunciarla con más precisión. Es decir no es cierto tomado al pie de la letra que una función holomorfa sea armónica.

Se cumple que si \( f \) es una función holomorfa entonces su parte real y su parte imaginaria son funciones armónicas (se llaman armónicas conjugadas).

Recíprocamente si \( u \) es una función armónica en un abierto simplemente conexo, entonces puede encontrarse una función \( v \) armónica tal que \( u+iv \) es holomorfa.

Saludos.

[Adquidi]

Muchas gracias.
Un saludo