Hola:

...
\( y'=\dfrac{y}{x-y} \) de la cual me piden hallar la solución general , el tema es que solo puedo usar el método de separación de variables y el de Lagrange ...

También se puede ver como ecuación de Lagrange, aunque el método propuesto por Masacroso es más breve.
\( y+x\varphi(y')+\psi(y')=0 \) donde son \( \varphi(y')=\dfrac{-y'}{y'+1}, \psi(y')=0 \), ya que \( y'=\dfrac{y}{x-y}\Longleftrightarrow y'(x-y)=y\Longleftrightarrow y(y'+1)=xy'\Longleftrightarrow y+x\left(\dfrac{-y'}{y'+1}\right)=0 \)
Saludos

Hola:

...
Estoy tratando de resolver esta ecuación diferencial para encontrar \( \theta \)
en función del tiempo, pero me estoy atascando en algunos pasos. ¿Alguien podría echarme una mano y mostrarme cómo avanzar en la solución de esta ecuación? Agradecería cualquier orientación o ejemplo que puedan ofrecer. Saludos cordiales, JCB.

Pero .... si ya sabes que es \( \theta(t)=\arctan\left(\dfrac{h}{d_0-vt}\right) \)   
Saludos

Hola:

¿Cuál es la cantidad de números de ocho dígitos que pueden formarse, en los cuales el producto de los dígitos sea 120?"

Lo hice de esa manera.
\( 120=2^3.3.5 \implies 2.2.2.3.5.1.1.1\\
\therefore P^{3,3}8! = 1120 \)

¿Está correcta esta resolución?

El resultado lo veo correcto; yo lo he planteado como \( VR_8^{3,1,1,3}=\dfrac{8!}{3!3!1!1!}=1120 \)
Saludos

Hola:

Muchas gracias por tu respuesta, y perdón por mi demora en contestar hasta el momento me pude sentar a detallar la prueba, ya logro entender la idea de mostrar que el conjunto de \(  B(x,1)\cap \{x_n\} \) sea finito para llegar a una contradicción, pero no logro visualizar muy bien como llegas a que esta contendido en \(  \{x_1,x_2,\ldots,x_{n_0}\} \),en ambos casos.
 y también no se si en esta parte de que marque en rojo en vez de una \( x \) es \( d \), de la distancia.

En efecto, lo que has marcado en rojo es una errata, y creo que hay otra ahí, pues me parece que lo correcto sería \( B(y,d(x,y)/2)\cap \{x_n\}\subset\{x_1,\ldots,x_{[2/d(x,y)]}\} \).
Respecto a tu otra pregunta, en el primer caso se ve que \( \forall\,n\geq n_0+1 \) se tiene que \( d(x,x_n)>1 \) luego \( \forall\,n\geq n_0+1,\,x_n\notin B(x,1) \) y, por tanto, \( B(x,1)\cap \{x_n\}\subset\{x_1,\ldots,x_{n_0}\} \), que al ser finito, permite deducir que \( x \) NO es un punto de acumulación de \( \{x_n\} \).
Algo análogo ocurre en el segundo caso; \( \forall\,n>2/d(x,y) \) es \( d(y,x_n)>d(x,y)/2 \) luego \( B(y,d(x,y)/2)\cap \{x_n\}\subset \{x_1,\ldots,x_{[2/d(x,y)]}\} \) y al ser finito permite deducir que \( y \) no es un punto de acumulación de \( \{x_n\} \), lo cual es una contradicción. Ten en cuenta que en \( \mathbb{R}^n \) con la topología usual, si \( y \) es un un punto de acumulación de un conjunto \( B \) entonces la intersección con \( B \) de cualquier entorno reducido de \( y \) no solo es no vacía sino que tiene cardinalidad infinita, si no me equivoco.
Saludos

Hola:

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Les agradecería si me pudiera corregir, saludos...

Pues lo veo correcto 
Tan solo el final ... puede ser  \(  0 \) o \( 1 \) pero no ambos a la vez 
Saludos

Hola:

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- Si no es cerrado, existe \( x\in clausura(A) \) tal que \( x\not\in A \). Pero entonces para todo \( n\in \Bbb N \) existe \( B(x,1/n)\cap A\neq\emptyset \) y así existe \( x_n\in A\cap B(x,1/n) \). Entonces por hipótesis el conjunto \( \{x_n\} \) tiene un punto de acumulación \( y\in A \).

 Como \( y\in A \), pero \( x\not\in A \), \( y\neq x \). Para todo \( n>2/d(x,y) \) (y por tanto \( 1/n\textcolor{red}{>}d(x,y)/2 \)), se tiene que:
...

Me parece que se ha colado una errata; 
¿No sería  \( 1/n \textcolor{blue}{<} d(x,y)/2 \)?
Saludos

Hola:

Hace unos días en otro problema indique la diferencia  entre calcular el número  de átomos y el de moléculas al llamar directamente con el nombre del átomo principal a su alotropo principal.

Es cierto, llueve sobre mojado 

Si yo fuera a resolver ese problema el objetivo sería calcular el número de átomos de oxígeno para luego dividir por dos y tener el de moleculas de "dioxigeno", que es como comúnmente se llama al oxígeno, más razón aún cuando en el segundo ítem se pide explicitamente el número de átomos de hidrógeno y el punto a) no dice explicitimente el número de "moles de átomos de oxigeno".

Pero es que en la sustancia protagonista no hay oxígeno molecular (diatómico) sino oxígeno monoatómico formando parte de las moléculas \( C_{25}H_{38}O_5 \); por tanto, si en el apartado a) piden el número de moles de oxígeno, se sobreentiende (al menos así lo entiendo yo) que lo que piden es el número de moles de átomos de oxígeno.

Creo que una buena pregunta de crischess para su profesor es como usa esa nomenclatura.

Estoy de acuerdo, a ver si crishchess se anima y se lo pregunta a su profesor 
Saludos

Hola:

... me dió que el valor de y es igual a:

\( y=\frac{1}{3}e^{-3(x-2)}U(x-2)-\frac{1}{3}e^{-3(x-1)}U(x-1) \)

¿Es correcto mi resultado?

No sé muy bien qué representa la notación \( U(x-1) \) o \( U(x-2) \), aunque la expresión se parece bastante a la que he obtenido yo:
A ver si algún otro forista nos saca de dudas
Saludos

Hola:

Probar que:

Probablemente esté equivocado, pero
¿no falta un signo 'menos'?
\( |u(x)|\leq{e^{\displaystyle\int_{x_0}^{x}\alpha(\tau)d\tau}}u(x_0)+\displaystyle\int_{x_0}^{x}e^{\displaystyle\int_{\eta}^{x}\textcolor{blue}{-}\alpha(\tau)d\tau}\beta(\eta)d\eta, \forall{x\in{[x_0, x_1]}} \)

Saludos

Hola:

...
Cualquier ayuda o sugerencia lo agradezco de antemano.

Te sugiero, en efecto, aplicar la transformada de Laplace a la EDO; así
\( {\cal L}[y']+3{\cal L}[y]={\cal L}[H_1]-{\cal L}[H_2]\Longrightarrow
s{\cal L}[y]-y(0)+3{\cal L}[y]={\cal L}[H_1]-{\cal L}[H_2] \).
Si no estoy equivocado \( {\cal L}[H_{\alpha}]=\dfrac{e^{-\alpha s}}{s} \), así es que quedaría \( {\cal L}[y]=\dfrac{e^{-s}}{s(s+3)}-\dfrac{e^{-2s}}{s(s+3)} \).
Podrías ahora descomponer en fracciones simples y luego aplicar la transformada inversa de Laplace. A ver si te sale... 
Saludos