Hola ¡manooooh!, un saludo:
Nunca estudié la lógica preposicional (ni sé lo que es), por lo que entiendo que no deberíamos usarlo.
No hay que tener miedo a intentar llamar las cosas por su nombre. Yo no he estudiado lógica ni soy ningún experto en lógica. Pero en este último mes, estoy leyendo libros de lógica por el gusto de intentar mejorar mi conocimiento en la materia. Recomendaría si tienes tiempo ir leyendo poco a poco la gran exposición de Carlos sobre lógica de primer orden:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=66204.msg265781 , donde sin duda se tocan todos los puntos para responder todas las dudas que planteas. Desgraciadamente llevo poco mas de la mitad y no puedo responder con firmeza cuestiones que se que se abordan mas adelante.
¿Pero no es que en proposiciones como "Hoy llueve o está soleado" se traduce en simplemente "\( p\vee q \)"? ¿Por qué agregar complejidad agregando una constante? Estoy suponiendo que se puede establecer una analogía entre "Hoy llueve o está soleado" y la del primer mensaje.
Pero debes tener claro que estas abordando un tema de lógica de primer orden. La cual incluye a la lógica de orden cero o proposicional. Carlos no usa relatores monódicos en lógica de primer orden, que representaría a la lógica de orden cero. Así que sentencias como "llueve o hace sol", se expresarían como por ejemplo como \( Lx\vee Sx \), refiriéndose la variable \( x \) a un día concreto. Si tu representas esas sentencias con la típica letra \( P \vee Q \), estas en lógica de orden cero. Ahora bien, ¿Por qué hacerlo mas complejo?: La lógica de primer orden analiza internamente la sentencia, buscando un sujeto y predicado. La Lógica de orden cero ignora ese detalle. Para la lógica de orden cero todas las sentencias son una letra. Si yo te pregunto como representarías "todos los días del año llueve" igual me dices \( \forall x Lx \), en vez de \( P \). Pues esa sentencia si usas lógica de orden cero es tan \( P \) como sencillamente la que usas con "LLueve". La complejidad al final se traduce en posibilidades de inferir. La lógica de primer orden permite inferir cosas que con lógica de orden cero no puedes, precisamente por agregar una captura con más detalle de los enunciados. Aunque en el enunciado que propones como ejemplo, la captura se puede hacer tanto en lógica de orden cero como en la de primer orden, hay sin duda casos donde no podrás inferir si usas solo lógica de orden cero. En cualquier caso, cuando hablas de cuantificadores siempre estas hablando de lógica de primer orden, y en parte, es la que quieres aprender y dominar, la cual también incluye aprender lógica de orden cero y diferenciarlas.
\( \begin{array}{l}
Pa\implies Qa\\Ra\implies Sa\\Pa\vee Sa\\\hline Qa\vee Sa.
\end{array} \)
Respecto a tu propuesta dos, igual es correcta, pero yo te preguntaría por qué no la consideras más rebuscada o liosa que la que yo he propuesto, que es por otra parte, la que estoy casi seguro usaría todo el mundo para simbolizar el enunciado. Cómo es posible que no te parezca más complejo manejar un cuantificador que una constante .
Nunca está de más agregar delimitadores
Respecto a la notación de los paréntesis, hay que comentar que toda la lógica se escribe sin paréntesis. El uso de los paréntesis es una notación abusiva para mejorar la lectura de una expresión. Pero en parte viene dada, porque usamos muchos relatores diádicos. No obstante, vienen reflejadas por una reglas, y esas reglas parentizan los conectores. Yo he visto mucho hincapié en intentar eliminar paréntesis superfluos y en parte es posible, porque se da una prioridad a los conectores. Personalmente opino que cuando uno adquiere buen dominio y parte de unas reglas, es preferible intentar eliminarlos por que se mejora mucho la legibilidad de las expresiones. Ponerlos de mas, no esta mal, pero seguramente no es lo mas deseable. Por otra parte, no he visto ninguna regla sobre poner paréntesis a las variables. Quizá yo pienso eso se ve en el lenguaje matemático, con un abuso de la notación. Pero si nos ceñimos al lenguaje de la lógica, yo no he visto esa notación. Carlos habla de eso en la parte final de su exposición, pero no he llegado hasta allí.
A ver si opina mas gente para respondernos con más claridad.
