[Jambo]

Hola, tengo que mostrar si las afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. \( Subf(\alpha_1) \models \alpha_3  \) (donde \( Subf(\alpha_1) \) son las subformulas de \( \alpha_1 \))

2. Existe \( \beta\in{PROP} \) tal que \( \not\models \beta\rightarrow{\alpha_3} \) y \( \alpha_1,\alpha_2\models\beta\rightarrow{\alpha_3} \)

donde \( \alpha_1 = \neg p_0\rightarrow{(p_1\lor\neg p_2)} \) , \( \alpha_2 = p_1 \rightarrow{p_0} \) , \( \alpha_3 = p_2 \land \neg p_0 \)

Spoiler

Acá está definido quien es \( PROP \) y lo que es una subformula, así como también quienes son los \( p_i \)

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1. Acá, me dijeron que tenia que usar que \( Subf(\alpha_1)\models\alpha_3 \Leftrightarrow{Sub(\alpha_1)\vdash \alpha_3} \) y haciendo derivaciones llego a que es verdadero (o sea, \( Sub(\alpha_1)\vdash \alpha_3 \) es verdadero, entonces \( Subf(\alpha_1)\models\alpha_3 \) es verdadero), pero no entiendo como \( Subf(\alpha_1)\models\alpha_3 \) es verdadero, ya que \( p_o\in{Subf(\alpha_1)} \) y \( \neg p_o\in{Subf(\alpha_1)} \), entonces, por la definición de consecuencia lógica para que \( v(\alpha_3) = 1 \) tendria que cumplirse que \( v(p_o)=1 \) y \( v(\neg p_o)= 1 \) (cuando digo \( v(x) \) estoy hablando de valuaciones, la definicion exacta está en el link del spoiler), y no entiendo como es posible 

¿Hay forma de resolverlo sólo usando la definicion de consecuencia lógica?

2. Acá me quedé trancada con \( \not\models \beta\rightarrow{\alpha_3} \) (con la otra parte no sé que hacer )
Decidí demostrar que existe un \( \beta \), entonces apliqué la definición de consecuencia lógica para este caso, diciendo que \( (\forall{v\in{V}})(v(\beta\rightarrow{\alpha_3})=0) \) (\( V \) es el conjunto de todas las valuaciones), y no estoy segura si eso esta bien aplicado... ¿sería \( \forall{} \) o con un \( \exists{} \) alcanza?

Espero me entiendan y puedan ayudarme 

[Carlos Ivorra]

pero no entiendo como \( Subf(\alpha_1)\models\alpha_3 \) es verdadero, ya que \( p_o\in{Subf(\alpha_1)} \) y \( \neg p_o\in{Subf(\alpha_1)} \), entonces, por la definición de consecuencia lógica para que \( v(\alpha_3) = 1 \) tendria que cumplirse que \( v(p_o)=1 \) y \( v(\neg p_o)= 1 \).

No. Según la definición de \( \models \) tienes que probar que si son verdaderas todas las subfórmulas de \( \alpha_1 \), lo cual significa en particular, que \( v(p_0)=1 \) y \( v(\lnot p_0)=1 \), entonces tienes que probar que también \( v(\alpha_3)=1 \), lo cual es muy fácil: entre las premisas que supones verdaderas están \( v(p_2)=1 \) y \( v(\lnot p_0)=1 \), de donde puedes concluir inmediatamente que \( v(\alpha_3)=1 \).

Lo que tú señalas es que es imposible que  \( v(p_0)=1 \) y \( v(\neg p_0)= 1 \), lo cual es cierto, pero la definición de \( \models \) no exige que las premisas puedan ser todas verdaderas a la vez. Sólo tienes que suponer que lo son. Con lo que te estás encontrando es con el hecho de que unas premisas contradictorias (es decir, que no pueden ser todas verdaderas a la vez) implican cualquier proposición, porque se cumple trivialmente la definición de \( \models \).

De todos modos, mi impresión es que quien ha puesto este problema no se ha dado cuenta de que tanto \( p_0 \) como \( \lnot p_0 \) son subfórmulas de \( \alpha_1 \).

¿Hay forma de resolverlo sólo usando la definicion de consecuencia lógica?

Por supuesto, todo argumento deductivo es equivalente a un argumento semántico, y semánticamente suele ser todo más fácil. En este caso el argumento es el que ya te he dicho: tienes que \( v(p_2)=v(\lnot p_0)=1 \), y eso implica \( v(\alpha_3)=1 \).

2. Acá me quedé trancada con \( \not\models \beta\rightarrow{\alpha_3} \) (con la otra parte no sé que hacer )
Decidí demostrar que existe un \( \beta \), entonces apliqué la definición de consecuencia lógica para este caso, diciendo que \( (\forall{v\in{V}})(v(\beta\rightarrow{\alpha_3})=0) \) (\( V \) es el conjunto de todas las valuaciones), y no estoy segura si eso esta bien aplicado... ¿sería \( \forall{} \) o con un \( \exists{} \) alcanza?

Sólo tienes que poner un ejemplo de \( \beta \) y comprobar que cumple lo pedido. Prueba con \( \beta = \lnot p_0\land p_1\land \lnot p_2 \).

[Jambo]

Hola, gracias por contestar

1. Entonces además de que tenga que \( v(p_2)=v(\neg p_0)=1 \) , ¿puedo decir que es verdadero porque las premisas son contradictorias?

2. ¿Me podrías explicar como construir ese ejemplo? 

[Carlos Ivorra]

1. Entonces además de que tenga que \( v(p_2)=v(\neg p_0)=1 \) , ¿puedo decir que es verdadero porque las premisas son contradictorias?

En efecto, puedes decir que como las subfórmulas de \( \alpha_1 \) son contradictorias, cualquier fórmula es consecuencia de ellas.

2. ¿Me podrías explicar como construir ese ejemplo? 

Para que \( \beta \) cumpla \( \alpha_1,\alpha_2\models \beta\rightarrow \alpha_3 \) necesitas que cuando \( \alpha_1, \alpha_2,\beta \) sean verdaderas, también lo sea \( \alpha_3 \), pero no es difícil ver que si \( \alpha_1,\alpha_2 \) son verdaderas, entonces \( \alpha_3 \) es falsa, luego \( \beta \) tiene que ser falsa siempre que \( \alpha_1 \) y \( \alpha_2 \) sean verdaderas.

Por otra parte, para que se cumpla \( \not\models \beta\rightarrow \alpha_3 \), es necesario que \( \beta \) sea verdadera en algún caso en el que \( \alpha_3 \) sea falsa.

En resumen, las condiciones requeridas son \( \beta \) tiene que ser verdadera en un caso en el que sean falsas \( \alpha_3 \) y alguna de las dos fórmulas \( \alpha_1 \) y \( \alpha_2 \), y sea falsa siempre que \( \alpha_1 \) y \( \alpha_2 \) sean verdaderas.

El caso más simple consiste en que \( \beta \) sea verdadera exactamente en un caso en que  sean falsas \( \alpha_3 \) y alguna de las dos fórmulas \( \alpha_1 \) y \( \alpha_2 \) y que sea falsa en todos los demás casos. Esto nos lleva a definir \( \beta = *p_0\land *p_1\land *p_2 \), donde los asteriscos indican que hay que poner un \( \lnot \) o nada.

Es fácil ver que si \( p_0 \) es verdadera, entonces \( \alpha_1 \) y \( \alpha_2 \) son verdaderas, luego tiene que ser \( \beta = \lnot p_0\land *p_1\land *p_2 \). Pero si \( p_2 \) es verdadera, tenemos \( \lnot p_0\land p_2 \), luego \( \alpha_3 \) es verdadera, junto lo contrario de lo que queremos, luego tiene que ser \( \beta = \lnot p_0\land *p_1\land \lnot p_2 \).

Así sólo quedan dos opciones, y es fácil ver que \( \beta = \lnot p_0\land p_1\land \lnot p_2 \) cumple todos los requisitos.

Si no quieres ir tanteando así, puedes hacerte la tabla de verdad de \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) con las ocho posibilidades para las tres variables y comprobar que el único caso que hace falsa a \( \alpha_3 \) y a una de las otras dos fórmulas es precisamente \( v(p_0)=0, v(p_1)=1, v(p_2)=0 \).

De todos modos, ten presente que no necesitas explicar nada de esto en una solución del problema. Basta con que digas: tomamos \( \beta = \lnot p_0\land p_1\land \lnot p_2 \)  y vamos a comprobar que cumple lo requerido.

[Jambo]

De todos modos, ten presente que no necesitas explicar nada de esto en una solución del problema. Basta con que digas: tomamos \( \beta = \lnot p_0\land p_1\land \lnot p_2 \)  y vamos a comprobar que cumple lo requerido.

Bien, pero queria saberlo para tener una idea en futuros ejercicios 

¡Gracias!