Hola
Delmar MUCHAS GRACIAS por responder!!
Tu respuesta me orientó mucho y básicamente lo pensé de la siguiente manera.
Sabiendo que:
La unica opción haya \( L=\pi_1\cap{\pi_4} \) es considerar la opcion 1\( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&k &|&-2\\{0}&{0}&1&|&\frac{k+3}{k-3}\end{pmatrix} \) siempre que \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \)
Entonces debería ver que agregando una tercera ecuacion al sistema de ecuaciones lineales, en particular la del plano \( \pi_3: x+(k^2-12)y+(2k-3)z=3k-2 \) tendría que ver si existe \( k \in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \) tal que el mismo sea un sistema compatible indeterminado, es decir los 3 planos se intersectan en una misma recta. Recta que, como ya vimos \( L=\pi_1\cap{\pi_4} \) por lo tanto significa que esa misma recta esta incluida en \( \pi_3 \)
De esta forma me queda lo siguiente:
\( \begin{bmatrix}{1}&{-3}&{k}&|& -2\\{0}&{0}&{1}&|&\frac{k+3}{k-3}\\{0}&{k^2-12}&{2k-3}&|& 3k-2\end{bmatrix} \)
Al escalonar \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3,-3}\right\} \) (tuve que excluir otro valor en el proceso) tenemos un sistema compatible determinado para todos esos valores de \( k \).
Y si \( k=-3 \) tengo un sistema incompatible.
Por lo que no existe valores de \( k\in{\mathbb{R}} \) tal que el sistema sea compatible indeterminado.
Por lo tanto la propocisión es falsa. ¿es correcto el razonamiento? (los cálculos no)
Por otro lado seguí tu linea de razonamiento
Delmar pues me orientaste enseguida. Pero hay algo que no me dió como a tí, (mediante mis cálculos la proposicion es falsa, y de acuerdo a lo que me dices habría un \( k \) que satisface lo pedido) y no se si estoy haciendo halgo mal. Paso a explicar.
Por lo que la unica opción haya \( L=\pi_1\cap{\pi_4} \) es considerar la opcion 1\( \begin{pmatrix}{1}&{-3}&k &|&-2\\{0}&{0}&1&|&\frac{k+3}{k-3}\end{pmatrix} \) siempre que \( \forall{k}\in{\mathbb{R}}-\left\{{2,3}\right\} \)
Hasta aqui estamos de acuerdo. si vuelvo al sistema tengo la ecuación de una recta que queda expresada como interseccion de dos planos,
\( L=\begin{cases}x-3y+kz=-2\\ z=\frac{k+3}{k-3}\end{cases} \) siempre que \( k\neq2 \) y \( k\neq3 \).
El vector director de la recta es \( \vec{d}_L=(-3,-1,0) \) y un punto que pertenezca a la recta, en función de \( k \) sería \( P=\left(0; \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)},\frac{k+3}{k-3}\right) \)siempre que \( k\neq2 \) y \( k\neq3 \).
Asi la recta \( L:(x,y,z)=\left(0; \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)},\frac{k+3}{k-3}\right) + \beta (-3,-1,0) \) con \( \beta \in{\mathbb{R}} \) siempre que \( k\neq2 \) y \( k\neq3 \).
En forma paramétrica quedaría de la siguiente forma: \( L=\begin{cases}{x}&=&-3\beta\\y &=&\frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)}-\beta \\z & =&\frac{k+3}{k-3} \end{cases} \) siempre que \( k\neq2 \) y \( k\neq3 \) y \( \beta \in{\mathbb{R}} \)
Ahora debería ver si existe un \( k\in{\mathbb{R}} \) tal que \( k\neq2 \) y \( k\neq3 \) con \( \beta \in{\mathbb{R}} \) de la recta \( L \) que satisfaga la ecuación del plano \( \pi_3: x+(k^2-12)y+(2k-3)z=3k-2 \)
Es decir, resolver
\( -3\beta+ (k^2-12)\cdot \left[ \frac{(k-1)(k+6)}{3(k-3)}-\beta \right]+(2k-3) \cdot \frac{k+3}{k-3} =3k-2 \)
Se me hizo super tedioso trabajarlo y lo saque por la primer forma.
Muchas Gracias!
Saludos
