Hola
Sí, yo busco la de geometría euclídea.
Veamos así.
- Denoto por \( [C;r] \) a la circunferencia de centro \( C \) y radio \( r \),
- La potencia de un punto \( P \) respecto de una circunferencia \( [C;r] \) es:
\( (d(P,C)+r)(d(P,C)-r)=d(P,C)^2-r^2 \).
- Ahora dadas las circunferencias \( [A;r] \) y \( [B;R] \), el lugar geométrico de puntos \( P \) pedido cumple:
\( d(P,A)^2+r^2=d(P,B)^2+R^2 \)
\( \color{red}d(P,A)^2\color{black}-R^2=d(P,B)\color{red}^2\color{black}-r^2 \) (
CORREGIDO)
- Es decir el lugar geométrico pedido coincide con el lugar geométrico de puntos que tienen la misma potencia respecto de las circunferencias \( [A;R] \) y centro \( [B;r] \). Por tanto es por definición el eje radical de esas dos circunferencias (fíjate: las originales con los radios intercambiados).
- Pero el eje radical de dos circunferencias es perpendicular al segmento que une sus centros; por tanto el eje radical de las circunferencias \( (A,r) \) y \( (B,R) \) y el eje radical de las circunferencias \( (A,R) \) y \( (B,r) \) son ambos perpendiculares al segmento \( AB \) y por tanto paralelos entre si.
Saludos.