[incógnita_j]

En otro tema he visto queCarlos hablaba de números triangulares, pues bien, aquí propongo estudiar estos números y sus sorprendentes propiedades, y creo que esta vez podré aportar bastante, porque llevo un año trabajando en dichos números por un trabajo escolar.

Dichos números vienen dados por la suma de los n primeros números enteros:
Así:
T(n)= n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1
¿Por qué triangulares? pues por una mera analogía pictográfica:

1^2 =   * 2^2=   * *          3^2= * * *
                            * *                   * * *
                                                    * * *

Se construyen cuadrados de lado ´n.
Así mismo para T(n) tenemos:

T(1)= *         T(2)=  * *              T(3)= * * *
                                 *                           * *
                                                                 *

Que son triangulos de lado n.

Se puede demostrar la fórmula general por recurrencia, pero esta otra manera me parece más "elegante"
T(n)= n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1
T(n)= 1   +   2   +  ....    +   (n-1) + n
Sumando miembro a miembro ambas igualdades:
2T(n)= n(n+1)
T(n) = n(n+1)/2

Se pueden sacar mil propiedades estudiando las diferencias de las sucesiones como números tetraedales etc, y más curioso aún es equipararlos a la fórmula:
T(n)= n + n(n-1)/2 para relacionarla con
Pb(n)= n +n(n-1)b/2
Que es la fórmula general de los números poligonales.

Hay más propiedades curiosas como la típica:
(a+b)^2= a^2+2ab+b^2
T(a+b)= T(a)+ab +T(b) sin el dichoso "2" del cuadrado del binomio

Espero comentarios gracias, y sugerencias.
            

[teeteto]

Datos, datos, datos...

http://www.shyamsundergupta.com/triangle.htm

P.S.:Está muy bien lo que has escrito.

Saludos.

[teeteto]

Hola Carlos...yo puedo ver el documento perfectamente...

un saludo

[incógnita_j]

Datos, datos, datos...

http://www.shyamsundergupta.com/triangle.htm

P.S.:Está muy bien lo que has escrito.

Saludos.

La información nunca sobra, la verdad es que entre lo que añade teeteto y lo de Carlos ya hay muchísimo. La verdad es que yo tantas curiosidades no saqué, pero vamos ni la mitad, me dediqué más a estudiar las diferencias y las propiedades de los cálculos como por ejemplo el hecho que:
T(n)+1=T(n+1)-n si recuerdo bien, porque no tengo mis apuntes aquí y no estoy seguro, pero lo he verificado con ejemplos y sí. Estudié mucho el límite de sucesiones que se sacaban a partir de estas y el rango de los infinitos y cosas así tambien.
Del mismo modo, se puede establecer una fórmula factorial:
T(n)= (n+1)!/2(n-1)!=(n+1)(2)/2!=   n+1
                                                        (       ) => me refiero al número combinatorio.
                                                            2

Más adelante hablaré de algunas conclusiones que saqué respecto a diferencias entre valores de la sucesión, pero vamos, humildemente no es mucho, pero me pareció entretenido trabajar sobre ello.

[incógnita_j]

Ahora que he leído más a fondo el documeto de Carlos, desde luego es completísimo, lo de relacionar los números triangulares y la sucesión de Fibonaci ya me ha dejado de piedra.