En realidad, usando el factorial no hace falta que sea el cuadrado de ningún número en particular, basta con que sea un primo mayor que el factorial, pues siempre será coprimo con el factorial; pero yo mezclé ideas con lo tuyo y otras cosas y lo compliqué.
Eso sí, la resta tiene que ser menor que el factorial, igual que en lo que haces tú, para poder asegurar que ese coprimo es un primo.
No hace falta pensar tampoco en eso del mayor primo hasta “n” (hasta la mita), pues buscamos un primo mayor que el factorial, siempre va a ser coprimo con el factorial, por ser un primo mayor que cualquiera suyo, cualquiera de los que componen sus números.
Pero sigue siendo difícil (cuando el factorial tiene cientos de cifras) encontrar un primo que al hallar la diferencia, ésta sea más pequeña que el factorial, porque la cantidad de cifras va a tener que ser la misma, con una más va a quedar grande (con muchas cifras va a pasar eso salvo muy excepcionalmente). Y buscar un primo con la misma cantidad de cifras va a ser difícil con algo tan grande.
Correcto, también puede ser coprimo con el factorial para que nos dé un primo. Y eso es más facil.
Tomas el factorial que quieras, que está formado por un producto de primos, y le vas restando los números siguientes al factorial te dará, como yo he hecho antes, la lista completa de primos. O dicho de otro modo, si restas el factorial con un número más grande y obtienes un primo mayor que los que componen al factorial, entonces ese número más grande es coprimo con el factorial. Por tanto, posiblemente sea primo.
Otro ejemplo:
$$n=6, 6!=720$$
$$721-720=1$$ 721 es coprimo con 720, y por tanto con 2,3,5, que son los factores de 720
$$723-720=3$$ 723 es múltiplo de 3, dado que 3 es factor de 720
$$725-720=5$$ 725 es múltiplo de 5, dado que 5 es factor de 720
$$727-720=7$$ 727 es coprimo con 720 (además es primo)
$$729-720=9$$ 729 es múltiplo de 3.
$$731-720=11$$ 731 es coprimo con 720. No es primo, dado que es divisible entre 17 y 43.
Por tanto, si tienes un factorial, como 6!, cuyos factores son la siguiente lista de primos $$L_3=\left\{{2,3,5}\right\}$$ entonces sabes que sumando ese factorial al primer primo que no está en la lista (el 7) te dará un número coprimo con el factorial. Y ademas puede ser primo.
720+7=727. Es coprimo con 720 y además es primo.
Eso es facilísimo si tienes un factorial y tienes su lista de primos. Tomas el factorial, le sumas cualquier primo que sepas que seguro no tiene y te dará un coprimo suyo, que además puede ser primo.
De todas maneras, si con un coprimo te vale simplemente le sumas +1 al factorial y ya lo tienes. Además puede ser primo.
Te explicó mejor por qué se me cruzaron los cables.
Cuando tienes una secuencia de números naturales ordenados que llega hasta un “n”, existe un primo en dicha secuencia tal que \( p^{2}>n \), por lo que los compuestos hasta “n” serán todos múltiplos de ese “p”y de los más pequeños (no de todos a la vez, claro, de algunos, quiero decir que obligatoriamente todos los compuestos hasta “n” tendrán algún factor que será P ó menor que P; obligatoriamente todos los compuestos lo tendrán). Porque si tiene dos factores mayores que P, digamos x,y,entonces
\( xy>p^{2}>n \)
y así no puede estar dentro de la secuencia que va de 1 a “n” ningún compuesto mayor que el cuadrado de ese "p".
Puede estar a lo mejor x como factor, pero acompañado de uno de los menores que “p”, puede ser “qx” menor que “n”.
Y esto no tiene nada que ver con lo que decía, se me cruzaron las ideas al ver que usabas el cuadrado.
Esto sirve para encontrar primos de una forma cómoda, para eliminar posibilidades considerando números menores que la raíz cuadrad de “n” que puedan dividir a “n”, para saber si “n” es primo o no (por lo explicado).
Por ejemplo, si quiero saber si 23 es primo, la raíz de 23 es menor que 5 (dicho de otra manera, 5²>23) así que de ser compuesto tendría que estar formado por algún factor menor que 5, o seá, 3 ó 2; y rápidamente se ve que no es divisible por 2 ni por 3, luego es primo.
Buenas noches.
Pues, sí, lo establezco por esta misma razón que tu dices. Pero no lo dije para no hacerlo más lioso.
Este que cuentas es un teorema muy antiguo:
Dado un natural cualquiera $$n$$ para saber cuál es su mayor factor primo posible, $$p_m$$, basta con $$p_m\leq{\sqrt[ ]{n}}$$.
Sobre él tengo un intento de demostración de la conjetura de Andrica. Más tarde la colgaré a ver que te parece.
