Gracias a lo conversado en el hilo
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110944.0He podido modificar parte del desarrollo de un artículo de
Blog que publicara en otra web, de la cual ahora hago copia.
Al no ser matemático de carrera, desconozco el rigor necesario para una demostración, pero para eso presento esta entrada, esperando que se me indique donde mi razonamiento falla, y si no es posible, entonces si habré demostrado que es no posible que existan números perfectos impares.
Para los que no sepan que es un número perfecto daré la definición:
Una primera aproximación sería un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.
Pero qué es un divisor propio positivo, bueno es otro número también entero que es divisor de otro natural \( N \), pero que es diferente de \( N \).
Los divisores de \( N \) como el \( 1 \) y \( N \) se los llaman impropios.
Pero una mejor definición de Número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos...más el impropio \( 1 \)
Un ejemplo sencillo de número perfecto es el \( 6 \) ya que es el producto de \( 1\cdot 2\cdot 3 \) y esos tres números el \( 1 \), \( 2 \) y \( 3 \) son los divisores propios e impropios que no son el mismo \( 6 \).
Luego al sumar todos ellos \( 1+2+3=6 \) también tenemos como resultado al número perfecto.
Existen otros números perfectos como el \( 28 \) que es \( 2^2\cdot 7=1+2+4+7+14=28 \) pero de los \( 51 \) que se encontraron la actualidad todos ellos son pares.
Los desafíos matemáticos abiertos sobre esta temática son:
Demostrar que los números perfectos son infinitos en cantidad.
Que se encuentre uno que sea impar o bien se demuestre que no existe ninguno.
Este último desafío me cautivó y empecé a dedicarle un poco de tiempo, con lápiz y papel.
Veamos si he podido sacarle el jugo...
Un número perfecto es el que cumple que
\( N= \displaystyle\prod\limits_{w=1}^nP_w^{e_w}=\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)
los \( P_w \) son números primos resultantes de la descomposición en factores primos de \( N \)
y los \( e_w \) son los exponentes a los cuales esta elevado el número primo \( P_w \)
Donde el segundo término de la igualdad es la representación del número perfecto como la productoria de todos los factores primos en que se puede descomponer el Número perfecto, cada uno elevado a su respectivo exponente. El tercero consta de la agrupación en dos sumandos, de todos los factores propios y no propios posibles de obtener como permutación de los factores primos elevados como máximo a la respectiva potencia dentro de la productoria y el otro sumando de valor negativo es la multiplicación de todos los factores primos a la máxima potencia. Si se desarrolla la primer serie de sumandos se ve que para eliminar de la lista el propio valor \( N \) hace falta restarlo y es lo que se hace con el último sumando
Otra forma más sencilla de desarrollar la expresión es
\( 2N= 2\displaystyle\prod\limits_{w=1}^nP_w^{e_w}=\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k} \)
Es sencillo darse cuenta que si cualquier \( P_w \) se le asigna el número primo \( 2 \) entonces el número perfecto buscado será par, luego el primo \( 2 \) y al \( 1 \) por razones obvias ,no los vamos a considerar en como posibles valores de \( P_w \) de la productoria.
También podemos prestar atención que la cantidad de sumandos del tercer término de la última ecuación, deberá ser par para que haya una solución posible, esto es que
\( (e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot....(e_n+1) \) sea par .... Luego es necesario que alguno de los \( e_w \) sea impar para que haya solución,(esto reduce las combinaciones posibles de búsqueda por fuerza bruta), pero no nos será de mucha utilidad si queremos avanzar en una demostración general.
Un resultado previo
Analicemos si el sumatorio de un primo elevado a todos los exponentes entre \( 0 \) y \( n \) es menor mayor o igual que ese primo elevado a un exponente una unidad mayor a \( n \).. en fórmulas
\( P^{n+1}\gtreqqless P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)
La finalidad es analizar siempre que \( n>0 \)
Es fácil observar que si \( P=1 \) el resultado es que el símbolo a usar en la ecuación es el \( < \) para todo \( n>0 \).
\( 1^{n+1}< 1^{n}+1^{n-1}+1^{n-2}+....+1^{1}+1^{0} \)
También que si \( P=2 \) el resultado es que el símbolo a usar es el \( > \) para todo \( n\geq1 \).
\( 2^{n+1}> 2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)
Porque a la vez sucede que
\( 2^{n+1}-1= 2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)
por lo que
\( 2\cdot2^n-1=2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)
luego \( \displaystyle 2\prod\limits_{w=2}^nP_w^{e_w}\cdot2^n=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}2^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}= \)\( \displaystyle\left(2^{n+1}-1\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\right) \)
llamando \( Q=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)
y \( R=\displaystyle\prod\limits_{w=2}^nP_w^{e_w} \)
\( 2N=\displaystyle 2R\cdot2^n=\left(2^{n+1}-1\right)Q \)
luego
\( R\cdot2^{n+1}=2^{n+1}Q-Q=^{n+1}Q-Q \)
\( Q=2^{n+1}\left( Q-R\right) \)
\( 2^{n+1}=\dfrac{Q}{Q-R} \)
mientras se cumpla esta relación habrá soluciones de números perfectos pares...
ej \( p_2=3 \)
\( Q= (1+3)=4 \)
\( R=(1*3)=3 \)
\( 2^{n+1}=\dfrac{4}{4-3}=4\quad\to\quad n=1 \)
\( N=1\cdot2^1\cdot 3=2^03^0+2^13^0+2^03^1+2^13^1-1\cdot2^1\cdot 3=6 \)
Del mismo modo
\( p_2=7 \)
\( Q= (1+7)=8 \)
\( R=(1*7)=7 \)
\( 2^{n+1}=\dfrac{8}{8-7}=8\quad\to\quad n=2 \)
\( N=1\cdot2^2\cdot 7=2^07^0+2^17^0+2^07^1+2^17^1+2^27^0+2^27^1-1\cdot2^2\cdot 7=28 \)
dicha relación se puede comprobar seguro con los 49 números perfectos pares restantes conocidos.
Por eso el primo \( 2 \) a partir de ahora no lo vamos a utilizar en el análisis posterior que limitaremos a sólo primos mayores o iguales a \( 3 \) pero bien vale tener en cuenta sus resultados.
Entonces para \( P\geq3 \) para todo \( n\geq1 \) siempre sucede que
\( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i \quad \forall P\geq3 \wedge n\geq1 \)
luego al multiplicar en los dos lados por un primo arbitrario \( P_2 \) sigue cumpliéndose
\( P_2\cdot P_1^{n+1}> P_2\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i} \)
\( P_2^m\cdot P_1^{n+1}> P_2^m\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i} \)
\( P_2^{m+1}\cdot P_1^{n+1}> \left(\displaystyle\sum \limits_{j=0}^m P^j\right)\cdot \left(\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i\right)=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n\sum \limits_{j=0}^m P_2^j\cdot P_1^i\quad \Longleftrightarrow \quad \forall P_i\geq3 \)
esto se puede generalizar para la multiplicación de cualquier otro primo
\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w+1}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\Longleftrightarrow \quad \forall P_w\geq3
\)
Otro resultado útil es
si \( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)
entonces \( P^{n+1}+P^{n+1}=2P^{n+1}> P^{n+1}+P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^{n+1} P^i \)
es posible hacer el cambio de variable en los sumatorios cambiando la variable n por una unidad inferior si \( t=n+1 \) quedaría
\( 2P^{t}> \displaystyle\sum \limits_{i=0}^{t} P^i \) y luego reemplazar \( t \) por cualquier otro símbolo
aqui ya no hay una relación dependiente del numero 2, donde despejar \( n \)
ahora es más fácil ver que
\( 2 \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w\color{red}{\cancel{+1}}}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k} \)
luego que
\( 2 \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
\)
quedando
\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
\)
y sabiendo que \( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}=P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)
\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n}
\)
He llegado a que siempre la productoria de números primos mayores a \( 2 \) elevados a cualquier exponente es mayor que la sumatoria de todos sus factores propios más el \( 1 \) que surge naturalmente de la productoria de primos elevado a exponente cero.
Conclusión no puede existir un número perfecto impar.... ya que no hay forma de lograr la igualdad de términos si los primos son mayores o iguales a \( 3 \) y los exponentes mayores o iguales a \( 1 \).
Esta demostración, si se puede llamar así, me ha resultado fácil, me temo que seguramente el ojo entrenado de los matemáticos del foro verán dónde me se halla algún error importante, que la rigurosidad necesaria no se cumpla, que desvirtúe la lógica y lo haga falaz.
De hecho de la crítica a la primera lectura, he podido mejorar mi original y llegar a este desarrollo, espero que los errores que queden sean de forma y no de fondo, o viceversa y todo quede en la nada.
Gracias por tomarse el tiempo leerme y mucho mas agradecido, de que me cuenten su parecer.
*Modificado luego del recordatorio de Luis Fuentes...
