[Chandra]

Buenas noches, tengo que demostrar lo siguiente y estoy algo bloqueado. Aclaro, por las dudas de que las notaciones no sean siempre las mismas, que los corchetes indican el mínimo común múltiplo y que los paréntesis se refieren al divisor común máximo:

\( \textrm{Sean } a,b \in{Z},m\in{N}, \textrm{tales que } a|m \textrm{ y } b|m\textrm{. Entonces:} \)
\[ [a,b]=m\Leftrightarrow{}(\displaystyle\frac{m}{a},\displaystyle\frac{m}{b})=1 \]

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches, tengo que demostrar lo siguiente y estoy algo bloqueado. Aclaro, por las dudas de que las notaciones no sean siempre las mismas, que los corchetes indican el mínimo común múltiplo y que los paréntesis se refieren al divisor común máximo:

\( \textrm{Sean } a,b \in{Z},m\in{N}, \textrm{tales que } a|m \textrm{ y } b|m\textrm{. Entonces:} \)
\[ [a,b]=m\Leftrightarrow{}(\displaystyle\frac{m}{a},\displaystyle\frac{m}{b})=1 \]

\( \Rightarrow{} \) Supongamos que \( d \) es un divisor común de \( m/a \) y de \( m/b \). Entonces \( (m/d)/a \) y \( (m/d)/b \) son enteros, y por tanto \( m/d \) es múltiplo común de \( a,b \). Pero como m es el MÍNIMO común múltiplo, necesariamente \( \cancel{m=1}\quad d=1 \).

\( \Leftarrow{} \) Supongamos que \( k=[a,b] \). Entonces \( m=kd \) y \( m/a=d(k/a) \), \( m/b=d(k/b) \) con \( k/a,k/b \) enteros. Pero entonces \( d \) es un divisor común de \( m/a \) y \( m/b \). Por hipótesis \( d=1 \) y así \( m=k \).

Saludos.

CORREGIDO

[Chandra]

Gracias por tu respuesta. Te hago unas consultas sobre cosas que no me quedaron claras:
En la parte de la ida, al final pones que necesariamente \( m = 1 \), ¿no tendría que ser que \( d = 1 \)? ¿O estoy entendiendo mal?
Por otra parte, en la vuelta ponés que \( m = kd \), ¿de dónde viene esa igualdad? Entiendo el uso que le das, pero no me doy cuenta de dónde surge el planteo de la igualdad.
¡Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por tu respuesta. Te hago unas consultas sobre cosas que no me quedaron claras:
En la parte de la ida, al final pones que necesariamente \( m = 1 \), ¿no tendría que ser que \( d = 1 \)? ¿O estoy entendiendo mal?

Si; fue una errata, perdona.

Por otra parte, en la vuelta ponés que \( m = kd \), ¿de dónde viene esa igualdad? Entiendo el uso que le das, pero no me doy cuenta de dónde surge el planteo de la igualdad.
¡Gracias!

Pues que cualquier múltiplo \( m \) común de \( a,b \) es múltiplo del \( mcm(a,b) \). Es una propiedad típica del mínimo común múltiplo. Si no te la han demostrado nunca es fácil de probar.

Saludos.

[Chandra]

Pues que cualquier múltiplo \( m \) común de \( a,b \) es múltiplo del \( mcm(a,b) \). Es una propiedad típica del mínimo común múltiplo. Si no te la han demostrado nunca es fácil de probar.

Sí, clarísimo. ¡Muchas gracias por tu respuesta!